* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ 113 При выяснении того, является ли данное множество кольца под­ кольцом, нет надобности проверять справедливость всех свойств кольца. Большинство из них автоматически переходит с кольца на любое его подмножество. Удобнее всего пользоваться для этого такой теоремой: Т е о р е м а 4. Для того чтобы непустое подмножество М кольца R было его подкольцом, необходимо и достаточно, чтобы сумма, разность и произведение любых двух элементов из М снова принадлежали М. Д о к а з а т е л ь с т в о . Для доказательства необходимости этих условий предположим, что М является подкольцом /?. Сложение в М совпадает со сложением в /?. Но из единственности обратной операции следует, что и вычитание в М совпадает с вычитанием в /?. Поэтому сумма, разность и произведение любых двух элемен­ тов из М (определенные в кольце R) должны принадлежать снова к М, так как иначе одна из этих операций для данных двух эле­ ментов М была бы невыполнима в М, что противоречит определе­ нию кольца (см. определение 1) и следующей из него выполни­ мости вычитания. Для доказательства- достаточности предположим, что множе­ ство М удовлетворяет условиям теоремы. Так как сумма и произ­ ведение (определённые в R) любых элементов из М снова принад­ лежат к М, то их можно принять за результат сложения и умно­ жения в М. Этим в М будут определены сложение и умножение. Свойства I , I I , IV, V и VI переносятся автоматически с R на любое его подмножество и, значит,- выполнены в М. Пусть а и b— элементы М* Тогда b — а = с также есть элемент М* Но по свой­ ству разности в R имеем: a-\-{b — а) = Ь или а -|с=Ь. Таким образом, н свойство III выполнено в At, и М является под­ кольцом кольца R. § 8. Поле Примеры колец, приведённые в предыдущем параграфе, пока­ зывают, что в отношении обратной операции для умножения (в от­ личие от сложения) различные кольца обладают совершенно раз­ личными свойствами. Так, в кольце целых чисел деление выполняется лишь в исключительных случаях, причём все элементы кольца де­ лятся на - [ - 1 и — 1 . В кольце же рациональных чисел деление всегда возможно (кроме деления на 0). Желая изучить свойства обратной операции для умножения, мы приходим к важнейшему частному случаю кольца — полю. О п р е д е л е н и е 1. Полем называется кольцо Р, обладающее следующими свойствами: 8 Эициклоиедня, кв. 1.