* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ГРУППЫ, КОЛЬЦА и ПОЛЯ 111 Для доказательства первого равенства надо проверить, что эле­ мент (а— Ь) с удовлетворяет определению разности элементов ас и be. Но действительно be -f- (а — b) с = [b -|- (а — Ь)]с = ас. Второе равенство доказывается аналогично. Докажем теперь, что нуль кольца обладает обычным свойством при умножении: Т е о р е м а 1. Если один из сомножителей равен нулю, то и всё произведение равно нулю, т. е. а -0=0, 0-а = 0 (2) для любого а. Докажем лишь первое из равенств, так как второе вытекает из первого при помощи IV. По определению нуля и разности 0 = b — b для любого Ь. Отсюда а>0 = а(Ь — b)=ab — ab = 0. Однако теорема, обратная теореме 1, верная для чисел, уже не сохраняется для любых колец, иными словами, если произведение ' двух элементов кольца равно нулю, то нельзя утверждать, что хотя бы один из них равен нулю. Так, в приведённом выше при­ мере 10 кольца, составленного .из пар (а, Ь) целых чисел, нулём является, очевидно, пара (0, 0). Если взять целые числа афО и ЬфО, то пары (а, 0) и (0, Ь) отличны от нуля кольца, но (а, 0)(0, *) = (0, 0). О п р е д е л е н и е 2. Элементы а и b кольца, для которых афО, ЬфО, но ab = 0 называются делителями нуля. Кольцо без делителей нуля называется также областью целостности. Т е о р е м а 2. Из ab = ас следует Ь = с, если только афО и не является делителем нуля. Доказательство. Из ab = ac следует ab-— ас = 0 или а(Ь — с) = 0. Но так как а ф 0 и не делитель нуля, то b — с = 0, Ь=с. В дальнейшем нам придётся иметь дело исключительно с коль­ цами без делителей нуля. Для них из ab = ac и а ф 0 следует Ь=с. При умножении справедливы обычные правила з н а к о в а именно: 9 a(—b)=—ab, (— a)b=—ab, (— а) (— b) — ab. (3) Первое из этих равенств доказывается так: а* + а ( — b) = a[b + (— by\ = a-0 = 0, откуда а(—b)—— ab. *) Заметим, что пе следует пользоваться терминами «положительный» и «отрицательный» элемент, как для чисел. Эти понятия для любых колец будут введены в § 10. Пока же элемепты а и —а вполне равноправны, каждый из них является противоположным для другого, и если обозначить — а через Ь, то а придётся обозначить через — Ъ.