* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

НО ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА и ПОЛЯ Проверить справедливость аксиом I — V I во всех этих примерах предоставляется читателю. Для сложения и умножения в кольце справедливы все след­ ствия, полученные из законов- ассоциативности и коммутативности в предыдущем параграфе. В частности, можно определить сумму и произведение любого конечного числа элементов (§ 6, опре­ деление 3), для которых верны правила оперирования, аналогич­ ные (1) из § 6 и которые не зависят от порядка данных элемен­ тов [§ 6, (2)]. Свойства I — I I I показывают, что кольцо относительно операции сложения является коммутативной группой. Поэтому во всяком кольце существует элемент 0, называемый нулём кольца, со свой­ ством а-\-0 = 0-\-а = а для любого а. Далее, для любого а существует элемент —-а такой, что a - f ( — с) = (— а) + а = 0. При совпадении слагаемых или сомножителей мы получаем /2-крат­ ное па или п-ю степень а элемента а. При этом степень а опре­ делена вообще лишь для натурального я , так как её определение для и ^ О требовало существование единицы и обратного эле­ мента а , что в кольце может не выполняться. Свойства степени (3) — (5) из § 6 сохраняются также лишь для натуральных показа­ телей. В отличие от этого понятие «-кратного па элемента а и его свойства (6) — (8) из § 6 остаются верными в случае кольца (как группы по сложению) для любых целых чисел. Из законов сложения I — I I I следует (как для всякой коммута­ тивной группы) существование в любом кольце операции вычитания, обратной сложению. Умножение может и не обладать обратной операцией, как, например, в кольце целых чисел или в кольце мно­ гочленов. С л е д с т в и е з а к о н а д и с т р и б у т и в н о с т и . Д о сих пор мы рассматривали свойства каждой из двух операций кольца отдельно. Переходим к изучению их связи между собой. Эта связь опреде­ ляется законом дистрибутивности V I . Прежде всего из V I и IV следует, очевидно, вторая форма закона дистрибутивности: п п - 1 противоположный а (Ь -\- с)=ab -|- ас. Далее, обе формы закона дистрибутивности оказываются вер­ ными также и для разности, т. е. (а — b)c = ac — be, a(b — c) = ab — ас. (1)