* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ГРУППЫ, КОЛЬЦА и ПОЛЯ 109 произведением, причём эти операции обладают следующими свой­ ствами: I. ( К о м м у т а т и в н о с т ь с л о ж е н и я . ) a-\-b=b-\-a\ I I . ( А с с о ц и а т и в н о с т ь с л о ж е н и я . ) а-\-(Ь-{-с) = =(я+*)+ I I I . ( О б р а т и м о с т ь с л о ж е н и я . ) Для любых а и b из R ' уравнение а-\-х=Ь имеет (по крайней мере одно) решение, т. е. существует элемент c£R такой, что а-\-с = Ь; IV. ( К о м м у т а т и в н о с т ь у м н о ж е н и я . ) ) ab=ba\ V. ( А с с о ц и а т и в н о с т ь у м н о ж е н и я . ) a(bc)=(ab)c\ VI. ( Д и с т р и б у т и в н о с т ь у м н о ж е н и я о т н о с и т е л ь н о сложения.) (a -J- Ь) с = ас -{- be. с ; 1 П р и м е р ы к о л е ц . При обычных операциях сложения и умно­ жения кольцом является: 1. Множество целых чисел. 2. Множество рациональных чисел. 3. Множество действительных чисел. 4. Множество комплексных чисел. 5. Множество, состоящее лишь из одного числа 0. 6. Множество чётных чисел и вообще множество целых чисел, кратных некоторому числу п. 7. Множество комплексных чисел а-\-Ы с целыми а и b (так называемое кольцо целых комплексных чисел). 8. Множество действительных чисел a-\-byf% где а и b — це­ лые числа. Множество натуральных чисел, а также множество всех поло­ жительных рациональных чисел кольцами не являются, так как не выполняется аксиома I I I . 9. Большую роль в алгебре играет кольцо многочленов с одним или несколькими неизвестными и коэффициентами из некоторого кольца /?. При этом за операции сложения и умножения принимаются обыч­ ные действия над многочленами, известные из школьной алгебры. Эти действия имеют смысл, так как они сводятся к сложению и умножению коэффициентов многочленов, а последние принадлежат к кольцу R, где указанные действия определены. 10. Пары (а, Ь) целых чисел образуют кольцо, если операции определены по формулам (а, й) + (с, tf) = (a + c, b + d), (а, Ь)(с, d)={ac, bd). ') В литературе термин «кольцо применяется также ко множествам с некоммутативным или даже неассоциативным умножением. Формулировки других свойств также меняются. В конце данпой статьи при обобщении по­ нятия числа нам понадобятся кольца без коммутативности умножения.