* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

108 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ и соответственно изменяется вид равенств (1) — (5). В частности, равенства (3) — (5) принимают вид (т-\-п)а = та -|- па, (6) (7) (8) т(па) = (тп) а, п (а -\- b) = па -\- nb. Операция, обратная операции сложения в аддитивно записанной коммутативной группе, называется вычитанием, а её результат для элементов а и Ь, т. е. решение уравнений а-\-х=Ь и у-\-а = Ь, называется разностью элементов b и а и обозначается через b — а. Подгруппа. О п р е д е л е н и е 6. Подмножество И группы G называется подгруппой этой группы, если оно само является груп­ пой при той же групповой операции, что и в G. При выяснении того, является ли данное подмножество И под­ группой, можно пользоваться следующей теоремой: Т е о р е м а 2. Непустое подмножество Н группы G будет под­ группой тогда и только тогда, когда 1) произведение двух любых элементов а и b из Н принадлежит Н 2) элемент а' , обратный для любого элемента а из Н, принадлежит к Н. Д о к а з а т е л ь с т в о . Необходимость этих условий очевидна. Если, обратно, для Н выполнены условия 1) и 2), то И (как не­ пустое множество) содержит элемент а, значит, по свойству 2) оно содержит и а~ и по свойству 1) асГ = е. Таким образом, Н со­ держит единицу е и вместе с любым элементом а содержит обратный элемент а~ . Так как закон ассоциативности автоматически перехо­ дит с G на Н, то Н—подгруппа группы G. Мы ограничимся лишь этими основными свойствами групп, отсы­ лая читателя, интересующегося более глубокими свойствами, к спе­ циальной литературе (см. [ ] и [ ' ] ) . 1 9 х х х 6 § 7. Кольцо Мы рассмотрели в предыдущем параграфе свойства одной алге­ браической операции. Однако в случае чисел, которыми мы будем заниматься в дальнейшем, налицо две операции — сложение и умно­ жение, — связанные между собою дистрибутивным (распределитель­ ным) законом. В этом и следующем параграфах мы и рассмотрим общие свойства множеств с двумя операциями. При этом мы огра­ ничимся лишь нужным для чисел случаем коммутативных операций. О п р е д е л е н и е 1. Непустое множество R называется коль­ цом, если в нём определены две алгебраические операции: сложение, ставящее в соответствие каждым двум элементам a, b элемент а-\-Ь, называемый их суммой, и умножение, ставящее в соответ­ ствие каждым двум элементам a, b элемент ab, называемый их