* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ГРУППЫ, КОЛЬЦА и поля 107 Свойство произведения (1) при совпадении сомножителей обра­ щается в известное свойство степени аа т п = а . т+п (3) Дал*ее, индукцией по п легко доказать, что (а ) т п = а . тп (4) Для коммутативных групп из возможности перестановки сомно­ жителей (2) следует: (ab) =a b . (5) n n n Мы указали, как равенства (3), (4) и (5) доказываются для натуральных чисел тип, однако эти равенства остаются верными для любых целых чисел т и п, что можно проверить путём рас­ смотрения всевозможных случаев т ^ 0, п ^ 0. Из однозначности решений уравнений ах=Ь и уа=Ъ следует наличие в группе G обеих обратных операций для операции умно­ жения. В случае коммутативной группы G обе эти обратные опе­ рации совпадают. В самом деле, если с — решение уравнения ах=Ь, то ас = Ь, Значит, са = Ь, т. е. с— решение уравнения уа = Ь. О п р е д е л е н и е 5. Операция, обратная для операции умно­ жения в коммутативной группе G, называется делением. Её ре­ зультат для элементов а и Ь, т. е. решение уравнений ах=Ь и уа=Ь, называется частным элементов b и а и обозначается и через а: а или Ь —. А д д и т и в н а я з а п и с ь . Групповая операция может обозначаться через a-j-fr и называться сложением. Тогда говорят об аддитивной записи группы. В этом случае группа обычно предполагается ком­ мутативной. При аддитивной записи вместо 1 говорят о нуле и вместо обратного элемента а~ о противоположном элементе — а. Далее, вместо степени а говорят о кратном па (не следует пони­ мать па как произведение и и а, ибо целое число может и не быть элементом группы G). Итак, х п па = а-\-а-\~а-\я раз . . . -|- a . Для аддитивно записанной группы G сумма п элементов обозна­ чается так: