* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

МНОЖЕСТВА 99 множество всех построенных элементов. Очевидно, что из / <^ k сле­ дует по свойству I I a <^a , откуда по свойству I a ф а^. Значит, N* равномощно множеству натуральных чисел. Поэтому множество А бесконечно (§ 4, теорема 5), что невозможно. Существование первого элемента доказывается аналогично. Т е о р е м а 7. Любое конечное множество можно упорядочить. Все конечные упорядоченные множества с одним и тем же числом элементов п^>0 подобны отрезку | 1 , п \ натурального ряда и, зна­ чит, подобны между собой. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пустое множество упорядочено по опре­ делению. Если АфО— конечное множество, то - 4 ~ | 1 , л | . Отре­ зок | 1 , п), очевидно, есть упорядоченное множество. По теореме 5 множество А можно упорядочить. Пусть теперь А—любое конеч­ ное упорядоченное множество с числом элементов л } > 0 . По тео­ реме 6 множество А содержит первый элемент a Если л ^ > 1 , то множество t k t v А = 1 А\{а }фО 1 2 х 2 и снова содержит первый элемент а , причём д <^а . построен элемент a . Если / < [ « , то t Пусть уже A =A\{a , i 1 а , ... , 2 а^фО м и по теореме б оно содержит первый элемент а , причём Так мы построим элементы a для всех i ^ n . Множество t a <^a . t M А = {а п 19 а , . . . , а „ } ~ | 1, 2 п\~А. Множество А не равномощно собственному подмножеству (§ 4, тео­ рема 1). Значит, А = А ={а а«, . . . , а ]. п 1$ п Очевидно, что из i < ^ f t следует а , - < ^ , т. е. А подобно от­ резку 11, я | . Из этой теоремы следует, что все п\ возможных перестановок множества с п элементами имеют один и тот же тип.