* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

98 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА. ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ Читателю предоставляется доказать, что отношение подобия обладает следующими тремя свойствами: I . Р е ф л е к с и в н о с т ь : Am А. I I . С и м м е т р и я : если Am В, то Вт А. III. Т р а н з и т и в н о с т ь : если АтВ и ВтС, то АтС. Сравнивая определение подобия с определением равномощности (§ 3, определение 4), мы убеждаемся, что первое включает второе, т. е. верна следующая Т е о р е м а 3. Подобные множества равномощны; из Am В следует А~ В. Обратное утверждение не верно. Так, множества (1) и (2) равномощны (даже просто равны как неупорядоченные множества), но не подобны, так как множество (1) имеет первый элемент, а мно­ жество (2) — не имеет, тогда как при соответствии подобия первому элементу одного множества должен соответствовать первый элемент другого. Тем не менее для конечных множеств теорема, обратная теореме 3, также верна. А именно: Т е о р е м а 4. Если конечные, упорядоченные множества равномощны, то они подобны. Эта теорема ввиду свойств I — III подобия является непосред­ ственным следствием приведённой ниже теоремы 7. Для любых множеств в известной мере обратной теореме 3 является следующая теорема: Т е о р е м а 5. Любое множество А, равномощное упорядочен­ ному множеству В, само можно упорядочить, т. е. определить для его элементов отношение порядка, обладающее свойствами I и I I ) , и притом так, что полученное упорядоченное множество подобно В. Д о к а з а т е л ь с т в о . Если а и а — любые элементы мно­ жества А, Ь и Ь — соответствующие им, при взаимно однозначном отображении А на В, элементы В, и Ь <^Ь , положим а < ^ « Легко проверить, что определённое так отношение порядка в А обладает свойствами I и II и, очевидно, А подобно В. Т е о р е м а 6 . Любое конечное упорядоченное множество А содержит первый и последний элемент (если только А непусто). Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть А не имеет последнего элемента. Берём любой элемент а £ Л. Так как он не последний, то существует а £А такой, что а <^а^ так как а — не последний, то существует а ( А такой, ч т о ^ ^ о » . Если элемент а построен, то существует а £ А такой, что a ^ a По индукции элемент а построен для любого п. Пусть N* = {а а , а, ...} 1 х 2 х 2 т о Х 2 1 2 х 2 х 2 г п я + 1 n n & v п 19 % г *) Справедлива даже теорема, что любое множество можно, как говорят, вполне упорядочить (см. [*], стр. 99), но её доказательство выходит за рамки нашей статьи.