* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

МНОЖЕСТВА 97 гие в возрастающем или убывающем порядке. Получим унорядо ченные множества {1, 2, 3, . } , (1) f . . . . 3, 2, 1 } , { 1, 3, 5, . . . , 2, 4, 6, . . . }, { 1, (2) (3) (4) (5) (6) 3, 5, . . . , 6, 4, 2 } , 1, 1, { . . . , 5, 3, \ . . . , 5, 3, 2, 4, 6, . . . } , . . . , 6, 4, 2 } . Элемент, не имеющий предшествующего, называется первым, а элемент, не имеющий следующего,—последним. Элементы а и Ъ называются соседними, если не существует с, для которого a или Ь<^с<^а. Если а и Ь — соседние и а<^Ь, то говорят, что а непосредственно предшествует b a Ь непосредственно следует за а. Упорядоченное множество ( 1 ) имеет первый элемент и не имеет последнего, множество (2), наоборот, имеет последний элемент, но не имеет первого, множество (4) имеет как первый элемент, так и последний, а множество (5) — ни первого элемента, ни послед­ него, множество (3) содержит два элемента, не имеющих непосред­ ственно предшествующего, множество ( 6 ) — д в а элемента, не имеющих непосредственно следующего. Во всех этих множествах каждый элемент имеет соседний. Множество рациональных чисел, располо­ женных по возрастанию, не имеет соседних элементов, так как t между любыми числами а и b лежит число —-g—. Если а = Ь или а<^Ь, то пишут: а^Ь; если а = Ь или а^>Ь, то пишут: а^Ь. Из определения 1 легко вытекает справедливость следующих двух теорем: Т е о р е м а 1. Если а^Ь и Ь^а, то а=Ь. Т е о р е м а 2. Если а^Ь иЬ^с, то а^с. Если a^b ub^c, то а^с. При этом, если хотя бы в одном из данных неравенств имеется строгое неравенство, то и в полученной неравенстзе будет строгое неравенство. О п р е д е л е н и е 2. Два упорядоченных множества А и В на­ зываются подобными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее порядок элементов, tn. е. такое, что из a —>b t Л lf a—>b% и a <^a% s x следует Ь <^Ь%. Из определения 2 следует, что все множества, содержащие лишь один элемент, подобны и пустое множество подобно лишь самому себе. О подобных множествах говорят, что они имеют о д и н и т о т ж е т и п . Отношение подобия обозначается так: As^B.