* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

МНОЖЕСТВА t 95 Пусть M\A = B Я = э 0 . Определим отображение / м н о ж е с т в а М в себя следующим образом: / Ю = я 1 л + 2, . . . ), / ( * ) = * для любого b £ В. Очевидно, что / является взаимно однозначным отображением множества М на его собственное подмножество TW\{ i}t доказывает теорему. Дадим теперь другое определение понятий конечного и беско­ нечного множеств. О п р е д е л е н и е 2'. Множество, не имеющее равномощного с ним собственного подмножества, а также пустое множество, называется конечным. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Из теорем 1 и 7 следует эквивалентность определения 2' преж­ нему определению 2. В самом деле, если множество конечно в смысле определения 2, то по теореме 1 оно конечно и в смысле опреде­ ления 2'. Обратно, если множество конечно в смысле определения 2 , то оно должно быть конечно и в смысле определения 2, так как иначе оно было бы бесконечно в смысле определения 2 и по тео­ реме 7 бесконечно также в смысле определения 2', что невозможно. Итак, оба определения конечных множеств эквивалентны. Отсюда (посредством рассуждения от противного) сразу вытекает эквива­ лентность определений бесконечных множеств. Отметим, что определение 2' имеет то (правда, лишь формальное) преимущество перед определением 2, что оно формулировано в терми­ нах общей теории множеств, тогда как определение 2 предполагает известными свойства натурального ряда. a ч т 0 и Г § 5. Упорядоченные множества До сих пор мы изучали лишь такие свойства множеств, кото­ рые были связаны с основным отношением, существующим между множеством и его элементами. Мы не рассматривали никаких со­ отношений между элементами одного и того же множества; все они были для нас совершенно равноправны. Однако в математике такие, так сказать, «чистые» множества встречаются редко. Обычно изучаются множества, между элементами которых существуют те или иные отношения, та или иная зависимость. Так; в геометрии две прямые в одной плоскости могут пересекаться или быть парал­ лельными. Между тремя точками прямой существует отношение, выражаемое словами «одна из трёх точек лежит между двумя дру­ гими». В арифметике между числами существуют отношения а-\-Ь = с или ab=c и др. Одним из важнейших отношений, существующих между числами, является отношение порядка. Числа той или иной совокупности естественным образом располагаются в определённом