* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

94 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ выбора достаточно возможности (именно, каждый раз в нашем рас­ поряжении остаётся ещё семь цифр). Дробь О, Ь Ь Ъ ... обладает нужными свойствами и даже в усиленной форме — она вовсе не имеет цифр 0 и 9. Значит, число с принадлежит интервалу (0, 1 ) . Но запись с отлична от записей всех чисел (4). В самом деле, эапись с отличается от с ибо Ь фа от с , ибо Ь фа^ и т. д. Но дробью нашего типа числа интервала записываются однозначно. Значит, с Ф &и с Ф с Ф ^з» * • • 9 с Ф ^п» * • • Х % Ъ и х хи 2 л Оказалось, что число с не входит во множество чисел (4), тогда как мы предположили, что в (4) перенумерованы все числа интервала. Полученное противоречие доказывает наше утверждение. Среди всех бесконечных множеств счётные множества являются наименьшими в следующем смысле: Т е о р е м а 6. Всякое бесконечное множество содержит счёт­ ное подмножество. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть М—бесконечное множество. Тогда М ф 0. Выберем какой-нибудь из его элементов и обозначим его через а ш Пусть в М уже выбраны п различных между собою эле­ ментов а а , . . . , а . Так как М бесконечно, то Х и 2 п i M \ { e i , а , ... , 2 а }ф0 п и можно выбрать элемент € - < W \ W а , ... , 2 а ). п Он отличен от всех ранее выбранных элементов. По принципу индукции доказано, что для любого п существует в М подмножество А = {а а , . . . , а } из п элементов, причём множество по­ лучается из А присоединением одного нового элемента а . Очевидно, что объединение п и 2 п п я + 1 оо [ J А ={а , а ... , а, ...} n=i является счётным-подмножеством М. Теперь легко доказать, что свойство конечного множества не иметь равномощного ему собственного подмножества (см. теорему 1 ) для бесконечных множеств никогда не выполняется. Именно имеет место Т е о р е м а 7. Всякое бесконечное множество М равномощно некоторому собственному подмножеству. Д о к а з а т е л ь с т в о . По теореме б множество М содержит счётное подмножество' п х 2> п А= А= {а Х9 а , ... , а, 2 л ...}