* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

МНОЖЕСТВА 93 При этом хотя бы одна из цифр а, отлична от нуля (ибо число 0 = 0,000... не принадлежит, интервалу). Далее, для чисел, имею­ щих запись в виде конечной десятичной дроби, существует и другая запись, где все цифры a начиная с некоторого места, равны 9. Например, 0,53000 . . . = 0,52999 . . . it Остальные числа" (т. е. иррациональные и те рациональные, которые разлагаются в периодическую дробь с периодом, не равным 9) имеют единственную запись ' ) . Из двух возможных записей для первых чисел мы выберем какую-нибудь одну, например, в виде конечной десятичной дроби. Тогда все числа интервала (0, 1 ) будут единственным образом записываться в виде 0, а а а . . . , х 2 3 где не все а равны 0 и никогда все цифры, начиная с некоторой, не могут равняться 9. Обратно, всякая такая десятичная дробь даёт число интервала (0, 1 ) . Легко видеть, что интервал (0, 1 ) есть бесконечное множество, ибо он содержит множество 1 ~2> У» Т » }> равномощное множеству натуральных чисел (см. теорему 5). Пока­ жем, что (0, 1 ) не является счётным множеством. Предположим обратное. Тогда все числа интервала можно за­ нумеровать так: (0, 1 ) = { ь 2J с , . . . }• с C 3 Запишем каждое число десятичной дробью указанного вида: С| = 0, a f i ll а 2 2 Д| , . . . 3 c =0, а ] а 2 чг • • • » а ъъ с = 0, а ъ 3 1 а 3 2 .. • , ... , с =0, а я п1 аь п Построим теперь число с = 0, o Ь% &з . . . l следующим образом: берём цифру Ь отличную от а , 0 и 9; бе­ рём Ь , отличную от а 0 и 9; Ь , отличную от а , 0 и 9; Ь , от­ личную от Сдд, 0 и 9, . . . Наличие десяти цифр оставляет для такого и и % 22> г 3 8 п *) См. стр. 253, А. Я. X и н ч и п, Элементы теории чисел.