* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

88 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ (то же для интервалов). Этим доказано, что [а, b] ~ [с, d] (соот­ ветственно, (а, i ) ~ ( c , d)). П р и м е р 8. Функция y=tgx устанавливает эквивалентность интервала (-f.+i) множеству всех действительных чисел. П р и м е р 9. Считая соответствующими друг другу числа, стоя­ щие одно под другим в следующих строках: 1, 2, 3, • . • , н 2, 4, б , . . . , 2« 1, 3, 5 , . « . , 2Й 10, 100, 1000,. . , 10 2, 3, 5,. ., р п — я 1,. ., (р — п-е — простое число), п мы заключаем, что множества всех натуральных чисел, чётных чи­ сел, нечётных чисел, степеней 10, простых чисел все имеют одну и ту же мощность, хотя первая из них является собственным над­ множеством остальных. П р и м е р 10. Множество натуральных чисел равномощно мно­ жеству рациональных чисел. В самом деле, любое рациональное число, отличное от нуля, однозначно записывается п виде несокра­ тимой дроби у , где принято д^>0 (т. е. знак отнесён к числителю). Из возможных записей для нуля: 0 = у = у = . . . выберем О -г V о д н у : у . Тогда запись вида ~ однозначно определена для всех рациональных чисел (в частности, при q= 1 получатся все целые числа). Высотой числа назовём натуральное число |/?|-t"7> \Р\— — абсолютная величина р. Тогда все рациональные числа можно расположить в одну последовательность, располагая их в порядке возрастания высоты, а числа с 'одинаковой высотой — в порядке возрастания числителя. Таким образом, получим последовательность г д е 0, - 1 , + 1 . - 2 , — ^ , 4 - J - , + 2 , - 3 , 3 2 1 2' 3"» _ ^ , + | + 3 f |^ 1 | 2 | 3 ^ "4 ' ~ Г 7 » "Т" 3"' "1~"2 * ~г * " Так как чисел данной высоты п — лишь конечное число [имен­ но, не более 2 ( я — 1 ) , ибо числитель меняется от — ( л — 1 ) до + ( —1)« исключая значение 0], то перед каждым данным числом в последовательности стоит лишь конечное число чисел. Поэтому, нумеруя числа последовательно по порядку натуральными числами, мы действительно занумеруем все рациональные числа, что и дока­ зывает требуемую равномощность. й