* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

МНОЖЕСТВА 87 в З а м е ч а н и е . Выше мы дали определение понятия равномощ­ ности, но не понятие мощности. Можно сказать, что мощность есть то общее, что имеется у всех равномощных между собой множеств. Впрочем, всюду достаточно понятие равномощности. Соотношение равномощности обладает следующими тремя основ­ ными свойствами: 1) р е ф л е к с и в н о с т ь : Хг^Х; 2) с и м м е т р и я : если Х~У, то Y^X\ 3) т р а н з и т и в н о с т ь : если Х ~ У и Yr^Z, то X*^Z. Для доказательства, например, первого из них достаточно каж­ дому элементу х£Х поставить в соответствие его же самого (то­ ждественное отображение), что уже дает взаимно однозначное ото­ бражение множества X на себя. Доказательство остальных двух свойств предоставляется читателю. Мощность множества характеризует, так сказать, «количество» его элементов. Однако при этом может оказаться, что «часть равна целому», т. е. множество может иметь одинаковую мощность с его собственным подмножеством. П р и м е р 6. Функция у=10х, где х—действительное число, устанавливает равномощность отрезка [0, 1] и в 10 раз более длин­ ного отрезка [О, 10]. Таким образом, в смысле мощности «коли­ чество» точек обоих отрезков одинаково. П р и м е р 7. Два любых отрезка [а, Ь] и [с, d], а также два любых интервала (а, Ь) и (с, d) равномощны. Для доказательства достаточно рассмотреть функцию Во-первых, каждому действительному числу х однозначно соот­ ветствует у причем легко видеть, что а с и b -+d. Далее, пусть % Согласно определению отрезка и интервала (см. стр. 82) o < ^ i и c<^d* Следовательно, j ^ C ->0. Поэтому У <^У^ г Итак, если а^х^Ь (или а<^х<^Ь), то и c^y^d (соответственно, с <^у <^ d). Значит, точкам отрезка [а, Ь] соответствуют точки отрезка [с, d] причем различные точки переходят в различные же (и то же верно в случае интервалов). Наконец, обратное отобра­ жение 9 обладает теми же свойствами, откуда следует, что для каждого у из [c d] найдется од :н (и даже только один) прообраз х из [в, * ] f