* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

78 ПОНЯТИЯ МНОЖЕСТВА, ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ ностью, когда применение математики даёт ожидаемые нами резуль­ таты. Последнее возможно только потому, что математические истины являются лишь отражением объективных закономерностей природы. Число является основным орудием, при помощи которого мате­ матика изучает закономерности реального мира. Современное по­ нятие о числе явилось результатом сложного и длительного про­ цесса исторического развития. После натуральных чисел появились числа дробные, затем иррациональные и, наконец, отрицательные» комплексные. Настоящая статья лишь в самых общих чертах касается истории развития понятия числа, ставя своей задачей выяснение логической сущности этого понятия в его современном виде. Чи­ татель не найдёт здесь большого числа новых для него свойств чисел. Не знакомство с новыми свойствами, а обоснование свойств чисел, известных каждому со школьной скамьи, — главная цель дан­ ной статьи. Доказательство даже самых простых свойств чисел, как, напри­ мер, переместительного или сочетательного закона сложения, тре­ бует точного определения числа и встречает поэтому значительные трудности. Тем не менее нам кажется, что учителю, ежедневно говорящему учащимся об этих свойствах чисел, нужно самому иметь представление о том, как они доказываются. Это весьма полезно с точки зрения развития общей математической культуры и для наиболее одарённых и интересующихся математикой школьников старших классов. По тем же соображениям статью можно рекомен­ довать студентам педагогических институтов. Так как построение действительных чисел входит в курс математического анализа, а комплексных чисел — в курс высшей алгебры физико-математиче­ ских факультетов университетов, то соответствующие главы статьи можно рекомендовать студентам указанных факультетов. Кроме обоснования свойств чисел, второй целью статьи является введение читателя в круг основных идей и понятий современной математики. К числу таких идей принадлежит представление об изо­ морфизме, а к числу понятий — понятия о множестве, группе» кольце и поле. Применение указанных общих понятий позволяет избежать многократного и утомительного повторения одних и тех же рас­ суждений при доказательстве аналогичных свойств чисел той или иной природы и позволяет читателю охватить свойства различных числовых областей с общей точки зрения. Конечно, у читателя, не знакомого с этими понятиями, такое изложение вызовет дополни­ тельные трудности, так как этому новому взгляду на числа ему придётся действительно учиться. Ознакомление с этими идеями и понятиями современной математики представляет значительную часть того нового, что узнает читатель из настоящей статьи. Изло­ жение обоснования понятия числа с точки зрения теории колец и полей может, как нам кажется, заинтересовать также и специалиста.