* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
П Р И Б Л И Ж Е Н Н Ы Е МЕТОДЫ А Н А Л И З А
203
Иногда бывает полезно разбить члены уравнения / ( * ) = 0 н а две группы, оставив в левой части один или несколько членов и перенеся остальные в правую часть. Тогда уравнение принимает вид fi ( д г ) = / (дг), после чего следует вычертить два графика: v = / i ( . v ) и v = / s ( - f ) . и найти точки пересечения построенных графиков. . Абсциссы" этих точек и будут искомыми корнями уравнения / ( д г ) = 0 . Преимущества этого способа особенно сказываются в тех случаях, когда одна из ф у н к ц и й , например / з (лг), — линейная и графическое решение уравнения сво дится к нахождению точки пересечения кривой y = f (x) с прямой линией у = / 2 {х) — kx -\- Ь. При необходимости решать большое коли чество однотипных уравнений вида f (дг) = kx -f- b, отличающихся только коэффициентами линейной функции в правой части, целесооб разно вычертить один раз график функции v = / i (х) на отдельном листе прозрачной бумаги, после чего для решения какого-либо урав нения данного типа остается построить в том же масштабе прямую линию y^=kx-\-b, наложить на нее лист с вычерченной кривой y = f (x) и определить абсциссы точек пересечения. Для решений любого другого уравнения этого типа приходится строить только новую прямую, соответствующую пра вой части этого уравнения, каждый раз используя тот же лист с графиком У»Х9 функции y—fi {х). На р и с . 1-186 дано графическое решение двух кубических уравнений £ 3 - 7 * —6 = 0 и лгз-f- 2 , 8 л - - 7 = 0 . Корни первого уравнения лг = — 2 , * з = — 1. * з = 3: второе уравнение имеет один действительный корень * ! = 1,4. Масштаб на оси К выбран в двадцать раз меньше, чем на оси X. Для графического решения систе мы двух уравнений с двумя неизвест ными / ( * , >0 = О, , находим второе уточненное значение д;< > =<р(д;(1>). Повторяя этот процесс несколько р а з , получим:
2
1
l
t
i
л
к
0
{ 1 )
0
2
ЛГ(3)
=
? х
( {2));
Х
Ш
=
? (*(3>);
. . . ; Ш
Х
=»
?
(*<Л-1>).
Процесс итерации прекращается, как только достигается требуемая точность, т. е. когда абсолютная величина разности между Двумя по следовательными значениями корня становится меньше допускаемой погрешности. Для того, чтобы процесс итерации был сходящимся, достаточно выполнение условия | <р' (х) | < 1 в некоторой окрестности искомого корня, содержащей точку дго. Сходимость тем быстрее, чем меньше \ ?' {х) \. Так как функцию < (дг) можно выбрать по-ра5ному, то следует иметь р в виду, что при неудачном выборе < (д;) процесс итерации может при р вести не к уменьшению, а к увеличению погрешности. Так, например, метод итерации нельзя применить к уравнению x=* igx, но если э т о
