* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

202 МАТЕМАТИКА П р и м е р . Н а й т и нормальное частное и общее решения уравне­ ния у'" + 2у" -[-у' + 2у = s i n д\ Преобразование Лапласа приводит к алгебраическому уравнению ( p - f - 2 p - } - р + 2) Y(p) = 1 ( Р + 1 ) ( Р + 2 / > 2 + р + 2) 2 8 8 2 , откуда р* -j- 1 1 (р2 1)2(р 2) • + + Разложив на сумму простейших дробей, получим: _ ! P a i t 2 ! _ i P + 2 д . 2 . 1 Y(p) = 5 5 (p +l) , 25 25 , 25 P + 2 P -H и, воспользовавшись приведенной таблицей, найдем нормальное регае1 дг 2 1 1 2 ние _у (дг) = — — * ~2~ * ~Ь 5" ' у ~ ^ ~~ 25 ' ~г* 25 1 1 1 7 JC + 25 * ~ * и л и ^ ( д г ) = ^ < f * — — c o s ^ - f ^ s m д- —-^(2cos дг-f sin д-). s i n Х Х C 0 S C 0 S v s i n х 2 2 Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид п — С\е~" -\- Co cos х-f- Сз sin х, и следовательно, общее решение данного уравнения х X у = С\е а л ' -f- Cs cos х-\-Сз sin х — (2 cos х-]- sin л*). Если отыскивается только общее решение уравнения, то значи­ тельно упрощаются вычисления, так как достаточно, учитывая вид общего решения однородного уравнения, иметь в виду только первую из простых дробей в выражении для Y(p). Глава 1-10 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА § 1-24. П р и б л и ж е н н о е р е ш е н и е а л г е б р а и ч е с к и х и трансцендентных уравнений Графическое р е ш е н и е уравнений. Графические методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений применяются в тех слу­ чаях, когда не требуется большая точность. Для отыскания графическим методом дей­ ствительных корней уравнения вида /(д*) = 0 следует построить график функции у = /(д-) и определить точки пересечения или, в случае кратных корней, точки касания его с осью X. Абсциссы этих точек будут искомыми кор­ нями уравнения / ( . * ) = 0. П р и м е р . Р е ш и т ь графически уравнение n 1i * + 3 * - 2 = 0. Рис. 1-16о. Строим график функции у = х* + Здг — 2; абсциссы пересечения этого графика с осью X являются корнями уравнения: д*1 = — 2,73; д; = — 1; д- = 0,73 (рис. 1-185; на чертеже масштаб на оси Y выбран в шесть р а з меньше, чем на оси X), х 2 0 2 2 3