* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 199 i t t Решив эту систему, находим (1 (л*), С (х) С (х); при помощи интегрирования можно определить функции С\ (х), Сз (х) С (.*), приче'м каждая из этих функций будет содержать произвольное посто­ янное слагаемое. 2 п П р и м е р . Общее решение уравнения у искать в форме y=Ci (х) ё~ -\-С* (х) хе~ решение однородного уравнения). Для определения х х 2 х х п -\-2у* -\-у= x следует х {y = Cie~ + Сахе~ систему х х — общее Ci(x) и С$(х) составляем уравнений: ^~; 2 С\ (дг) е~ + С' (х) хе~ = 0; отсюда с\ (х) = — 1; с\ (дг) е~ И х х + с' 2 (х) ( е~ - хе~ ) = ь 3 (х) == i . C i (дг) == — * + С х С (*) = ln х - f С . Таким образом, у={С\ — х) е~ -\- (Сз + In д-) хе~ . Уравнение Эйлера. Линейное уравнение с переменными коэффици­ ентами вида (ax+pfy + (ax+t) ~ y ~ + ...-f (*•* + £) У - Ь -f-a y = f(x) {уравнение SiLiepa) приводится к линейному уравнению m) n l i n l l ai с постоянными коэффициентами подстановкой Операционное исчисление. Преобразование со р ах-\-^—е. Лапласа f (р) = « J е~ * f (г) о*/ ставит в соответствие функции / ( г ) функцию / ( р ) па= 0 раметра р , причем / (г) называют ори:иналом, а / (р) — изображением. Переход от оригинала к изображению записывают коротко: / ( г ) - * / (р). Предполагается, что функция f (t) кусочно-непрерывна и кусочногладка при 1 ^ 0 (т. е. / (г) и / ' (£) имеют на каждом конечном отрезке не более чем конечное число точек разрыва и притом только 1-го рода] и растет не быстрее некоторой показательной функции, т. е. \f(t)\<:Me *, где М, 5 — п о с т о я н н ы е , и f(t) = 0 при г - ^ 0 . s Простейшие 1) с / ( г ) - * с / ( р ) свойства преобразования Лапласа; (с — постоянная); 2) / i W + / a ( 0 - * 7 i ( P ) + / a ( P ) ; 3) / ' ( 0 - Р / ( Р ) - / ( 0 ) ; 4) / ( Ш (О - р 7 ( Р ) - P " V ( 0 ) - p ~ / ' (0) - . i/(p); °7(Р) 8)e Л / l / l 8 - У" 1 - 1 ' (0); 6) §f{t)dt-+ 0 6) / ( * — * о ) - * * ~ 7) р т (fo Ь- 0 — постоянная); a / / И ) - * - ^ 7 ( £ ) : /(f)^7(P-a); f 9) j / l (*) / 8 (' 0 -C)rfX- Ji (p) / 2 (p).