* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

198 Найдя отсюда Y 2 n МАТЕМАТИКА и подставив в уравнение, получим: 2 2 [- 2А х + (2А j - В )) sin *- + [ 2 А - f (2А + ^ l ) ) cos | - = х sin | . Сравнивая коэффициенты в обеих частях равенства, будем иметь - 2 А = 1; 2 А х - В = 0; 2 A i = 0 , 2A 4-Bi=0, 2 2 3 откуда A i = 0; В = 1; A = » — у ; х 2 £ = 0и 3 К(*) = * s l n y - i д?з cos у . Общее решение X 2 соответствующего X однородного уравнения и (х) = Ct cos у - f С sin у и, следовательно, >>=CiCOSy + C sin— 4 ~ * sin у — у д* os y . 2 C В отдельных частных случаях можно пользоваться следующими правилами. 1) Если /(х) — многочлен степени т: f (х) = b x + b x + . . . + b -i x-f- b , m m 1 0 x m m на -фО, то частное решение уравнения следует искать в виде мно­ гочлена той же степени (с неопределенными коэффициентами): У (х) = В х 0 т + Вх х Л т 1 + . . . -f- B -i m х+ В\ т если же a = а fl п 1 = . . .= я _р р + 1 = °. 0 „ _ р 0 , m l iX то частное т решение *щут в виде Y(х) _ х (В х 0 т + B ~ + ... + £/л-1* + В ) . ах QX 2) Если f(x) = ke и е н е является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищут в виде Y (х) = Ае , где А — н е ­ определенный коэффициент; если же а— корень характеристического уравнения кратности р, то Y (х) — Ах е . 3) Если / (дг) = т cos bx -\- п sin bx и bi не является корнем харак­ теристического уравнения, то частное решение следует искать в виде Y{x) = М cos 0.V-+- N sin bx, где М, N — неопределенные коэффициенты; если ж е ; £ Ы — пара корней характеристического уравнения кратности р, то Y (х) = jc** (Л1 cos bx-\-N sin о*). В случае правой части /(дг) произвольного вида общее решение неоднородного уравнения находится методом вариации произвольных постоянных в форме у = C i (дг)у\ (дг) + С (*).У2 (дг) - f . . . + С (х)у (х), где yi (х), ys (х), . . . , у (х) — по-прежнему линейно-независимые реше­ ния соответствующего однородного уравнения, а функции С\ (х), С (дг), . . . , С (х) определяются следующей системой алгебраических р а х 2 п п п 2 п уравнений 1-й степени относительно их производных: С\ {х)у (х) + С (дг)у \х) + ... + с' (х)у 2 ш п п (х) = О, п С\ (x)y t (х) + Cg (х)у' 2 (х) + ... + с' {х)у п (дг) = О, С\ (х) у[ ~ С[ (х)у\ ~ п 1 п 2 ) (х) + С^ (др) у[ ~ 1 з п 2 ) (л-) + . . . + С (дг) у п п п п " 1 2 ) (х) = О, ) (дг) -f- С' (х)у£ ~ > (х) 4 - . . . 4- С (х) у%~ > (дг) = / (дг).