* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 197 Линейные о д н о р о д н ы е у р а в н е н и я с п о с т о я н н ы м и к о э ф ф и ц и е н ­ т а м и . Для отыскания общего решения линейного однородного уравне­ ния с постоянными коэффициентами У Ш + <*iy ~ m V + • • • + <* _1 У + У = О а я п ( 0 1 , eg, • • • , в — действительные постоянные) следует n n 1 1 составить так п называемое характеристическое уравнение k -\-a k ~ - f ... - f а _\k + j^.a = 0 и найти его корни, после чего п линейно-независимых част­ ных решений у\ (дг), у$ (х), . . . , у (дг) уравнения находятся (в действи­ тельной форме) по следующим правилам: 1) каждому действительному корню k кратности р соответствует р линейно-независимых частных решений: n п e \ xe , k kx x e 2 k x х ^ e k x \ 2) каждой паре взаимно-сопряженных комплексных корней а + (Hi кратности q соответствует 2q линейно-независимых частных решении: е а х cos рдг, е q а х sin pjc, хе е а х ах cos рх, хе q l ах sin $х, . . . ... , x~ l cos рх, x ~ е а х sin р*. Общее решение выражается равенством у = СхУх (х) + С Уг (х) - f . . . + С у 3 п , п п {х). П р и м е р 1. Решить уравнение у — 4 у " + 4 у ' = 0; £3 —-4^3-f. + Ak = 0; /?! = 0, * , з = 2; у = О + ( C + Сз*). П р и м е р 2. Решить уравнение _у^1 _ | _ y v _ у —jissO; fce-j-fci — — ^2 _ 1 = 0; * , = — 1; /? = 1; /?3, = i ; * = —i; 2 s 3 4 5 > e ^ = Cie~* -f- С е ^ + (Са + С * ) cos 2 4 + (С + 5 C JC) E sin х. Линейные н е о д н о р о д н ы е у р а в н е н и я с п о с т о я н н ы м и к о э ф ф и ц и ­ е н т а м и . Если найдено какое-либо частное решение Y {х) неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами^/ +аху ~ + ... . . . - f - a _ j у + У = / (х), и известно общее решение и(х) соответ­ ствующего однородного уравнения, то (см. выше) y = u{x)-{-Y(x) — общее решение данного неоднородного уравнения. Если, в частности, f (х) — Р (х) е cos Ьх или f(x) = P {х) е * sin bx, где Р (дг) — некоторый многочлен степени т, то частное решение следует искать в виде Y(х) = х е [Qx (х) cos bx -f- Q (x) sin bx], где Q (x) и Q (*) — много­ члены степени m с неопределенными коэффициентами; р — кратность корня характеристического уравнения, равного a -f- bi (если число a - f o i не есть корень характеристического уравнения, то р — 0). У х П р и м е р . Найти общее решение уравнения у" - f = х sin <л> {п 1) 1 а п а х 0 р а х 2 t 2 Здесь число а-\-Ы = ^г является однократным корнем характеристичен ского уравнения /?2 —J—i- = 0 и, следовательно, частное решение урав­ нения следует искать в виде YW = x [(AxX-^Bx) s\n- +{A x 9 x + B ) cos у ] . s