* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

190 s МАТЕМАТИКА дуги контура С, a A — проекция вектора А на положительное напра­ вление касательной к контуру С. Если ds — вектор, длина которого равна дифференциалу дуги и который направлен по касательной к контуру С в положительную сторону (dx, dy, dz — проекции вектора ds на координатные оси), то A ds = Ads. Циркуляция вектора А по контуру С может быть записана в форме s ^ Ads или £ A dx x -J- A dy y -f A dz. z С С Циркуляция для плоского векторного поля A (JC, у): § A ds s = j A r f s = £ A dx x -f A dy. С Потоком вектора С С A (JC, у, г) (потоком векторного поля) через по­ интеграл по поверхности ^ ^» Л г д е А п верхность 5 называется ~~ S проекция вектора А на выбранное по нормали к поверхности направле­ ние л. Если dS — вектор, длина которого численно равна элементарной площади dS поверхности и который направлен по нормали к поверх­ ности в положительную сторону, то A dS = AdS и поток вектора через n поверхность у можно записать в виде j ^ A r f S или г [А х cos (л, х) -f- -f- А cos (л, у) -f- А cos (л, z)] dS. Поток плоского векторного поля A (JC, у) через дугу Z: £ A ds = J Adn = J [A n x cos (n, x) - f A y cos (л, у)] ds = J A^rfy — I A dx y t I I I где dn — вектор, длина которого равна ds и который направлен по нормали к контуру в положительную сторону. Формулы Стокса (для плоского поля — формула Грина) и Гаусса — Остроградского (см. стр. 137 — 141) связывают циркуляцию и поток вектора с вихрем и дивергенцией: 1) § A ds = $ro\ s n Ad?, где С — з а м к н у т ы й контур, ограничивающий поверхность <т, а л — внешняя нормаль к поверхности (формула Стокса); 2) 1А ЖГ= Л JjldivArfK, ст V где < — замкнутая поверхность, ограничивающая область V, a п — т внешняя нормаль к поверхности з (формула Гаусса — Остроградского).