* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ где о « _ £ / (х) cos —-- dx, b = j
n
19 7
л
§
f(x)s\n^j*dx
- /
(л = О, 1 , 2 , . . . для а
п
- /
и 1 , 2 , . . . для
Сумма такого ряда Фурье S (х) определяется так ж е , как и в пре дыдущем частном случае.
/
Если функция / (дс) четная, то Ь = 0 и а = ~
п п
/ (дг) cos у - г/лг. О
I Если же / (дг) — нечетная, то и Ь = -у J / (дг) sin
п
дс.
О Свойства коэффициентов Фурье. Если некоторая функция / (х) приближенно заменена на интервале (а, Ь) функцией < (х), то средней р квадрат инее кой погрешностью такого приближения называется число 6, Ъ определяемое равенством 62 = J _ С [ / (дс) — 9 (дс)] dx.
2
а Коэффициенты Фурье функции / {х) обладают следующим мини мальным свойством средняя квадратичная погрешность приближенного выражения функции / (дс) на интервале (— тс, тс) при помощи тригонометрического
2
полинома
л-го
n
порядка
n
-f- а\ cos х -f- Ъ\ sin х -f-
- f а cos 2дс - j - &2 sin 2дс - j - . . . -f- a cos лдс + b sin лдс будет наимень шей, если коэффициенты такого многочлена взять равными соответ ствующими коэффициентами Фурье функции / (дс). Коэффициенты Фурье функции / (дс) связаны со средней квадратич ной величиной этой функции равенством Парсеваля.
а
2
со
*
Если функция / (дс) удовлетворяет
ОО
на любом
конечном
интервале
J | / (дс) I dx сходится (см. стр. 114), — со то имеет место предельная (при 1-*оо) формула разложения функции в ряд Фурье (интеграл Фурье) условиям Дирихле и интеграл / (дс) = - i -
J ds J
0
со
со / (r) cos s {t - x) dt.
— 00