* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

80 МАТЕМАТИКА 6. Угол между двумя прямыми с направляющими косинусами cos а, cos р, cos 7 и cos a cos Pi, cos YI определяется формулой lt cos ср = cos a cos ai -f" c o s т п р т\ у —у 2 z— г , или в векторной форме (г — r i ) X R i = 0 » ( 2 ) X R 2 = 0 , ni pt тт + nni-^-ppi . RiR то cos ср = + V m* 4- л 4- p*y m\4- п\ 4- р\ RiRs Условия параллельности двух прямых: cos a = cos а , cos p*=cosPi, т. п р _ _ cos 7 = cos 71 или — = — = -—,или RiXR2=0. mi ni pi Условие перпендикулярности двух прямых: cos а cos а i4- cos р cos р i44-cos т cos 7i = 0, или mm.\ 4- i + PPi = 0> или RiRo = 0. 7. д в е прямые лежат в одной плоскости (компланарны), если вы­ полнено условие 2 r — r х 2 2 х ч n n Если прямые даны уравнениями: P Pi 4" 7 v —x y—yt c o s c o s t c o s 71» г — Zi x—.v 2 Х 2 — Xi m mi 8. Угол между прямой sin ср = I Уз —У\ п ni Z 2 — Zi Р Pi = 0. и плоскостью определяется формулой | RN | RN Am 4- Вп 4- Ср = 0 , A B C —=* — = — т п р У2 т Am 4- Вп 4- Ср | 4- 2 4- 2YД2 4- #3 -f-C2 П p Условие параллельности или RN = 0. прямой и плоскости: прямой Условия перпендикулярности и плоскости: р или N X R = 0. 9. Координаты точки пересечения прямой и плоскости: XQ = Xi + , , , * * Axt + Byi+Czi + D + mt , y =yi-\-nt , z = zi 4- pt , где t = Am 4 - В л 4-Cp * Прямая лежит в плоскости, если выполнены условия: Ал*1 4- Byi 4+ C^i 4 - D = 0 (прямая и плоскость имеют общую точку) и Am-\-Bn-f4- Ср = 0 (прямая и плоскость парал­ лельны). Канонические уравнения по­ верхностей второго порядка. 1. Эл­ липсоид трехосный (рис. 1-64): .у2 *' а* ^ &2 ^ 2 Л Л 0 0 0 0 0 0 С Если а = Ь • эллипсоид вращения (поверхность Рис. 1-64. 2 вращения эллипса х 2 22 Г 2 •5»+ С = I вокруг оси Z). Если а = Ъ = с, то А* 4- уз 4- гг2 = ^2 сфера (шаровая поверх¬ ность) радиуса а. Уравнение (лг — ,v ) 4" (У — Уо) 4" (* — *o) = ° представляет собой сферу радиуса а с центром в точке OQ (XQ, у©, *о)« 2 2 3 2 0