* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
441 Теория чисел. 442 было известно вплоть до середины XIX сто удавалось, и только в середине XIX в. Leлетия, когда работами Чебышева и Riemaim'a jecme Diriehlet впервые точно обосновал эту проблема была, наконец, сдвинута с мертвой теорему, базируясь на методах анализа. После этого возник ряд аналогичных проблем о су точки. Вопрос шел, в первую очередь, о „густоте" ществовании бесконечного множества про расположения простых чисел; обозначая че стых чисел той или иной наперед заданной рез ф) число простых чисел, не превосхо формы. По большей части задачи этого рода дящих п, естественно было спрашивать о ха сопряжены с весьма значительными трудно рактере роста этой величины п(?г) при без стями и остаются до настоящего времени не граничном возрастании числа п. Euler'y было разрешенными. Для современной Т. ч. вообще является известно, что дрооь стремится к ну чрезвычайно характерным пользование прин лю при безграничном возрастании числа п; ципиально инородными ей методами анализа, это можно истолковать так, что простых чи т.-е. учения о непрерывно изменяющихся сел имеется бесконечно мало в сравнении величинах. Собственно арифметических ме со множеством всех целых положительных тодов эта наука, в сущности, почти не знает, несмотря на свою глубокую древность. Как чисел. всякая математическая дисциплина, Т. ч. вы Но, понятно, этот результат еще очень ма ло говорит. Наука настойчиво стремилась к росла из отдельных частных задач, среди тому, чтобы найти простое аналитическое которых с древности первое место занимал выражение, которое могло бы приближенно так наз. неопределенный анализ, т.-е. реше выражать собою эту сложную арифметиче ние уравнений в целых числах. Математики скую функцию и(п). Элементарные подсчеты древнего мира и эпохи Возроясдения, а так же и начала нового времени, много занима п лись такого рода задачами, не пытаясь объ показывали, что выражение на первых единить их в целое единым методом. порах дает хорошее приближение; но про Сколько-нибудь общие исследования в этом шло много времени, прежде чем в этом на направлении начались со времени Ealer'a и правлении удалось установить что-либо не LegendreV, но лишь Ganss'y удалось дать преложное- Чебышев показал, что отношение сводку имевшихся результатов (с присоеди нением многих новых) в виде единой систе Ф) мы в его знаменитых „Disqnisif.iones Arithmeticae". Им же был создан единственный эле ментарный арифметический метод — так наз. остается, при безграничном возрастании п, теория сравнений, являющаяся в значитель заключенным между двумя положительными ной степени просто техническим приемом. числами. Целью дальнейших стремлений бы Принцип этой теории состоит в том, что ло установить, что это отношение с возра два числа а и Ъ, дающие при делении на не станием п безгранично приближается к еди которое число w один и тот же остаток, об нице. Это удалось доказать лишь в 1896 г. ладают по отношению к этому числу рядом сложными методами анализа, предначертан общих свойств (напр., имеют с этим числом т ными Riemann'oM в его изиестной работе, одинаковых общих делителей), н потому во опубликованной в середине прошлого столе многих вопросах могут заменять друг друга. тия. В дальнейшем требовалось возможно Эту взаимную связь чисел а шЬ Gaoss на точнее оценить порядок роста разности зывает сравнимостью по модулю т; число т называется модулем сравнения, а записывает ся этот факт так: т.-е. тон погрешности, какую мы делаем, за меняя функцию ее приближенным вы ражением. Эта задача и по настоящее время далека от полного разрешения. Другой интересный круг проблем, связан ных с простыми числами, был порожден из вестной задачею об арифметической про грессии. Уже в XVIII столетии был выска зан (основанный на неточных рассуждениях) взгляд, что всякая арифметическая прогрес сия, разность которой не имеет общих дели телей с первым членом, должна содержать бесконечное множество простых чисел. Однако, доказать этого долгое время не а~Ь (mod. т). Соотношение сравнимости обладает мно гими свойствами простого равенства, и имен но в этом — главная сила и продуктивность нового понятия, введенного Ganss'oM. Эта аналогия простирается особенно далеко в том случае, когда модуль т есть число простое, вследствие чего теория таких сравнений осо бенно хорошо разработана. Сравнения могут содержать неизвестные, и тогда встает во прос об их решении, аналогично алгебра ическим уравнеаиям. В частности, пробле мы, связанные с решением сравнений вто рой степени с одним неизвестным, приводят