* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

466' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 467 ложений геометрии, как мы видели (гл. 18), тематической логики, строгая аксиоматика опорной базой служит арифметика. Для невозможна ни в какой дисциплине без самой арифметики этой базой должна слу­ аксиоматики самой логики. Во главе этого жить логика. Спрашивается, стоит ли ло­ направления стоит в настоящее время вы­ гика на высоте этих заданий? Как известно, дающийся математик Давид Гильберт. дедуктивная логика, построенная Аристо­ Нужно, однако, сказать, что это напра­ телем, глубокого усовершенствования до вление имеет и своих решительных про­ XIX в. не получила. В состоянии ли она тивников. К числу их принадлежал А. Пуан­ справиться с трудной задачей, на нее воз­ каре. При всей своей склонности к кон­ лагаемой учением о Т. о. м.? венционализму, он считал, что .логистики" Фреге, повидимому, первый решительно слишком отвлекают математическую мысль ответил отрицательно на этот вопрос. Ко­ в чуждую область, — что созданный ими нечно, как всегда, Фреге имел своих пред­ алгорифм требует огромного труда для шественников. Его идеи можно найти усвоения, и он не видел гарантии в том, у Лейбница, у Бернулли; они получили уже что в этих сложных построениях нет но­ значительное развитие в замечательном вых погрешностей, новых трудностей. Эту сочинении Буля „Исследование о законах точку зрения настойчиво поддерживал в мышления". Но твердым и решительным Германии Стюди. В последнее время вы­ новатором явился Фреге. За ним последо­ двинуто также возражение, что все вообще вала итальянская школа: Пеано, Падуа, миросозерцание Гильберта является идеа­ Вайлати, Бурала-Форта и Пиери, на­ листическим. Однако, не решая здесь во­ конец, германская — Шредер, Штольц и проса о том, каково общее мировоззрение английская — Уайтхед и Рессель. Гильберта, можно с уверенностью утвер­ По воззрениям этих ученых, логический ждать, что построенное им учение об аксио­ вывод, как мы его производим, прежде матике арифметики и логики ничего общего всего не дает гарантий безупречности по­ с идеализмом не имеет. Сомнения и трудно­ тому, что он осуществляется словами, со­ сти, стоящие на этом пути, лежат в другой держащими уже привходящие идеи. В этом плоскости. Логики утверждают, что они соз­ обилии слов тонет строго логический вы­ дали целый новый мир математических по­ вод, как геометрический вывод тонет в ин­ строений, что им принадлежит будущее. туиции, привносимой чертежом. Чтобы Гильберт находит, что вне обоснования логи­ устранить этот коренной дефект, надо там, ки невозможна никакая аксиоматика. Их где вывод должен быть совершенным, противники, люди самого различного миро­ оградить самый язык от злоупотребления созерцания, утверждают, что нельзя строить понятиями, в основные положения не вхо­ логики, опираясь на самое логику. И это тем дящими. Для этой цели Фреге, а за ним серьезнее, что с разных же точек зрения под­ итальянская школа—вводят своеобразный вергнуты сомнению основные формы клас­ язык и начертания, существенно отличаю­ сической логики (Шатуновский, Брауэр). щиеся от наших. «Идеография* Фреге и 32. Итак, в конечном своем построении, Пеано создает символы, выражающие вернее, в стадии известного завершения письменно не звуки (как наши буквы), а каждого отдела, математика представляет понятия — идеи. В цепи заключений вслед­ собою формальную систему. С наибольшей ствие этого фигурируют только те поня­ определенностью это относится к тем ма­ тия, которые получили символическое вы­ тематическим дисциплинам, которые сло­ ражение; этим устраняется привнесение чу­ жились в особенно устойчивые формы, как ждых понятий, далее, надо установить арифметика, элементарная геометрия и т. п. алгорифм, по которому из суждений, в этом Но как осуществляется самое математи­ своеобразном символическом начертании ческое творчество? Какими путями идет выраженных, можно было бы делать логи­ эволюция математических наук и матема­ ческие выводы. Анализ этой задачи обна­ тических идей? На том, что в этой стадии, ружил, что основы логики для этой цели в процессе творчества, математические дис­ должны быть значительно углублены. Ло­ циплины развертываются формально, на гике суждений должны быть предпосланы этом не стоит никто. Каковы же иные пути логика классов и логика отношений. Эти и методы, которыми осуществляется в ма­ учения, в свою очередь, оказались далеко тематике научное творчество? Кант и его не простыми и в своем развитии потребо­ школа стоят на той точке зрения, что здесь вали методов, очень близких математиче­ руководящую роль играет .внутреннее скому алгорифму. Математика, таким обра­ воззрение" (Anschauung); школа Милля и зом, срослась с логикой в одно целое, и здесь видит руководящее начало только в чи­ самая система логики в последние десяти­ стом эмпиризме; Пуанкаре приписывает эту летия стала предметом исследования мате­ роль,интуиции*. С подъемом марксистского матиков. Здесь развернулись вопросы боль­ миросозерцания в СССР выдвигаются на шой трудности. По воззрениям школы ма­ первый план диалектические методы.