* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

458' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 459' множества, мощности которых выражаются что ^ = 9С.ЗЗ. Если (5 есть третье множе­ числами а и Ь\ в таком случае число с, вы­ ство, состоящее из элементов С , С \ С"..., ражающее мощность множества £=91-1-23, то под произведением $ = 91.33. (S разу­ мы будем называть суммой чисел а и Ь: меем множество, составленное из всевоз­ с=а-\-Ь. Этим устанавливается понятие можных сочетаний вида (А,В,С). Очень легко о сумме любых двух количественных чи­ себе уяснить, что законы переместитель­ сел. Легко понять, что сумма двух конеч­ ности, сочетательности и распределитель­ ных чисел т и п в этом определении сов­ ности остаются в силе. падает с суммой этих чисел, как ее опреде­ Пусть теперь а, Ь, с будут три числа, лил Грассман; это может быть доказано % 33, (£— множества, мощности коих этими методом совершенной индукции по отно­ числами выражаются; если S есть произ­ B шению к любому из двух слагаемых. Но ведение множеств 91.33.<£, а р—-число, вы­ каковы бы ни были количественные числа, ражающее его мощность, то число р на­ натуральные или трансфинитные, сумма зывается произведением чисел at, Ъ и с: их всегда обладает основными свойствами р = а.Ь.с. Основные законы преобразова­ суммы натуральных чисел: законы пере­ ния произведения остаются в силе, потому местительности и сочетательности оста­ что они имеют место для произведения ются в силе. Это обусловливается тем, что множеств. законы эти остаются в силе для сумм самих Составим, согласно этому определению, множеств, т.-е. произведение З.к. За множество 9Г, мощ­ ность которого выражается к, примем на­ «4-8 =334-и туральный ряд. В таком случае множе­ Ж + (33 4- <£) = («С 4- 33) 4 & ство $ будет: Обобщение того же определения Кантора (1,1U1,2),(1,3),(1,4),(1,5),. .,(1,л),... на сумму нескольких слагаемых не пред­ (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5),.. .,(2,я),... (4). ставит затруднений. (3.1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5),.. .,(3,я),... Теперь обратим внимание на особенно­ сти, которые представляет сумма двух ко­ Это явно исчислимое личественных чисел, когда хотя бы одно тому З.н = «. Вообще я.ммножество, и по­ = н. Более того, из них трансфинитное. Если мы возьмем если мы захотим составить произведение исчислимое множество и к нему присо­ к. к, то должны будем составить такой же единим конечное число элементов, то, как двойной ряд (в качестве множества $), мы видели выше, мы получим вновь исчис­ продолжая его неограниченно не только лимое множество. Мощность первого мно­ вдоль каждой горизонтали, но и по верти­ жества есть н, мощность второго есть п, кали. Это будет явно множество той же мощ­ мощность суммы вновь есть н; следова­ ности, что множество (2) предыдущей гла­ тельно, к -f- я = к. Прибавление конечного вы, т.-е. это есть исчислимое множество. числа к трансфинитному дает вообще в Поэтому к.к = к2 = к. Совершенно так же сумме то же трансфинитное число. Более того, соединяя два исчислимых множества покажем, что к = « "" .« = к, если я. есть в одно, мы получаем исчислимое множество. натуральное число. Но число « уже боль­ Если, поэтому, множества 9£ и 33 имеют ше числа к. Можно показать, что оно вы­ мощности к, то и 914 53 имеет ту же ражает мощность континуума, т.-е., что мощность; следовательно, к -f- к = к. Вследствие этих обстоятельств понятие н = н . В самом деле, чтобы составить мно­ о вычитании трансфинитных чисел уже не жество % имеющее мощность » , нужно допускает однозначного определения, как составить к исчислимых множеств, каждое действия, обратного сложению. Так, раз­ мощности к: ность н — к может быть выражена лю­ #1» 2> 8» i> * * ' • *• бым натуральным числом и даже тем же числом к. b%, b%, b& b» , . , b, Обращаясь теперь к умножению, опре­ C3, Сд, . , деляем, прежде всего, произведение двух множеств. Положим, что множество 21 со­ и из них составить множество, элемен­ стоит из элементов А, А\ Л " , . . . , а мно­ тами которого будут служить комбинации жество 33 — из элементов В, В', £ " , . . . Со­ ставим всевозможные пары вида (А, В), т.-е. любой элемент первого множества соеди­ ним с любым элементом второго множе­ множество $ будет состоять из всех эле ства, и из всех этих пар как элементов ментов этого вида. Но ясно, что оно имее* составим множество. Это последнее мно­ ту же мощность, что и множество, соста жество У$ мы будем называть произведе­ вленное из всех дробей вида 0 , а ^ . . Д . . . нием множества 91 на множество 33, так а это есть континуум. 5* п л 1 м н х н й а a n C X t C 2 j C m . . .