* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
452' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 453' •что оба ряда приведены этим путем в однооднозначное соответствие, между тем вто рой ряд представляет собой часть первого. Кантор указал, что в этом обстоятельстве коренится различие между конечными и бесконечными множествами. Это составляет большую его заслугу. Множество называется конечным, если оно не может быть приведено в совершен ное сопряжение со своею частью, и беско нечным, если такое сопряжение возможно. Е«:ли мы от натурального ряда отсечем все члены, следующие за некоторым его элементом, то мы получим конечное мно жество. Это ясно для множества 1 (т.-е. содержащего только первый член ряда), а для следующих множеств 1,2; 1,2,3; 1,2,3,4;... это без труда доказывается совершенной индукцией. И з этого следует, что каждое множество, представляющее собой некото рую начальную часть натурального ряда, имеет свою особую мощность; точнее, если мы составим множества: каким-либо конечным множеством Ш имеет двоякое значение, двоякую цель: нуме рование, т.-е. последовательную отметку каждого элемента множества некоторым числом, и исчисление, т.-е. установление того числового натурального множества, с которым множество Ш имеет одинаковую мощность. Эти два процесса на практике осуществляются параллельно. Нумеруя эле менты конечного многообразия, т.-е. отме чая его члены числами 1,2,3,., и заканчи вая это нумерование числом п, мы уста навливаем и его мощность. Установив, таким образом, количественное значение целых чисел, Кантор идет в этом направлении дальше. Натуральный ряд, как мы видели, представляет собою бесконеч ное множество. Существуют и другие мно жества, имеющие т у же мощность. Так, если на прямой будем последовательно от кладывать, начиная от некоторой точки, равные отрезки, то конечные их точки об разуют множество, имеющее мощность на турального ряда. Это и характеризуется тем, что точки эти можно последовательно 1,2 (1), перенумеровать; каждая точка получит но мер, но для этого понадобятся все числа ЗДЗ натурального ряда. В связи с этим всякое 1,2,3,4 множество, мощность которого равна мощ ности натурального ряда, Кантор назы то из этих множеств каждое следующее вает исчислимым множеством. имеет большую мощность, чем предыдущее. Приведем еще другие примеры исчисли Мощность каждого из этих множеств мы мых множеств. Прежде всего совокупность можем характеризовать его последним эле всех целых положительных и отрицатель ментом. Множества (1) мы будем назы ных чисел представляет собой исчислимое вать натуральными числовыми множе По сравнению с натуральным ствами; иными словами, под натуральным множество. множество содержит „ вдвоерядом это числовым множеством мы будем разуметь больше чисел. Н о оно все же может быть со такое множество, кот рое получается из на пряжено со своею частью — с натуральным турального ряда путем отсечения всех чле рядом чисел; это видно из следующей нов, следующих за некоторым определен таблицы: ным его членом. Натуральное множество мы можем, таким образом, характеризовать его последним членом; напр., под натураль 41,-1,42, —2. -1-3, -3, +4, —4,45, -5... 1+ Т ным множеством 4 мы можем разуметь множество 1,2,3,4; вообще, под натураль ным множеством п мы можем разуметь в которой каждое верхнее число сопря множество 1,2,3,. . , п. Легко видеть, что множество % * , соста жено с нижним; между тем верхний ряд вленное из точек, имеет т у же мощность, содержит все положительные и отрицатель что и натуральное множество 3. Суще ные целые числа, нижний—только ариф ствуют, конечно, и разнообразные другие метические целые числа. Верхний ряд та множества, имеющие т у же мощность; от ким образом перенумерован: нижние числа носительно каждого такого множества мы представляют собой номера, отнесенные будем говорить, что оно содержит три верхним числам. элемента. Вообще, мы будем говорить, Результат, к которому мы пришли, мож что множество содержит п элементов, но формулировать так: если мы соединим если оно им^ет т у же мощность, что и на два исчислимых ряда в один, то получим туральное множество п. В этом заключает исчислимый ряд; иначе говоря, совокупность ся количественное значение натуральных двух исчислимых рядов имеет т у же мощ чисел. ность, что и каждый из них в отдельности; Вообще, установление соответствия ме возможность этого коренится в том, что это жду членами натурального множества и ряды бесконечные. Три исчислимых ряда Ф i f 4-f I t 4t i t 4t I t 4t 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...,