* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

454' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 455 могут быть таким же обрззом соединены мощность, нежели натуральный ряд; ока­ в один исчислимый ряд, как это видно из зывается, однако, что это не так. Кантор следующей схемы: ряды показал, что и совокупность иррациональ­ ных, но алгебраических чисел (т.-е. удо­ I, 2, 3, 4. 5, б, 7, 8, 9. . влетворяющих алгебраическому уравнению - 1 , - 2 , - 3 , - 4 , - 5 , - 6 , —7, - 8 , - 9 . . с рациональными коэффициентами) пред­ 1* 2*, 3*, 4* 5*. 6*, 7* 8*. 9* . ставляет собою исчислимое множество. Мощность натурального ряда Кантор обо­ могут быть соединены в исчислимый ряд значил первой буквой еврейского алфа­ 1, - 1 , 1 * , 2. -2,2*, 3, -3,3*, 4, - 4 , 4 * . . . вита к. О всяком исчислимом множестве Более того, исчислимое множество исчис­ в соответствии с этой терминологией гово­ лимых рядов также представляет собою рят, что оно имеет к элементов; это утвер­ исчислимый ряд. Это станет ясным из сле­ ждение означает, что такое множество дующей схемы. Таблица имеет мощность натурального ряда. Но существуют множества большей мощ­ Ъ 'Ь з> ь - • « п» ности. Таково множество всех арифметиче­ Ь b. b, #, . , Ь, (2) ских чисел. Чтобы это себе уяснить, войдем ^li ''З' ^4' * ' в некоторые подробности' относительно ^2, "3, < 4 ^> * > ^я» • этого множества. Ч> 3> Ь • • • п» • Множество всех арифметических чисел, очевидно, имеет ту же мощность, что и представляет собою множество, составлен­ множество точек прямолинейного луча. ное из исчислимого множества исчислимых Если О есть начальная точка луча ОМ рядов. Располагая элементы этой таблицы (рис. 26), то каждой точке М отвечает число (абсцисса), представляющее расстоя­ в порядке ние точки М от начала, выраженное в при­ «I» Ь , а , c Ь , а$, d с , Ь , а ... (3), нятой единице меры; и обратно, каждому арифметическому числу (абсциссе) отвечает т.-е. помещая сначала элемент первой одна, и только одна, точка луча; множество диагонали (а ), затем элементы второй диа­ точек луча и множество всех арифметиче­ гонали (*£, # ), затем элементы третьей ских чисел имеют одну и ту же мощность. (c , Ь , а$), четвертой (d , с , Ь , я ) и т. д., мы обнаруживаем, что множество ( 2 ) пред­ ставляет собою исчислимый ряд. Переход от таблицы (2) к ряду (3) называют диаго­ нальным перераспределением таблицы (2). Любопытным примером, иллюстрирующим эти соображения, является то обстоятель­ ство, что совокупность всех рациональных дробей, т.-е. всех рациональных чисел, представляет собою исчислимое множество. не. 26. В самом деле, совокупность рациональ­ ных чисел можно представить в виде таб­ Теперь покажем, что множество точек, лицы: образующих луч ОМ, имеет ту же мощ­ ность, что и множество точек, образующих 2 3 4 п любой отрезок ON. Чтобы это обнаружить, •т т Г т Г приложим отрезок к лучу так, чтобы на­ п 1 2 3 4 чало О луча совпало с началом отрезка, но чтобы они образовали некоторый угол. Т Т т • • " Т ' Затем проведем отрезок любой длины NP, 1 2 3 4 параллельный лучу ОМ, но направлен­ ' 3 ' т Т 3' ный в другую сторону. Из точки Р к любой точке К отрезка ON проведем • п 2' 3 4 луч РК, который встретит луч ОМ в точ­ 1 1 —, — , — » ке К'- Теперь каждой точке К отрезка от­ м m m т несем соответствующую точку К' луча ОМ, и обратно. Ясно, что этим каждой точке отрезка будет отнесена одна, и только одна, Производя в ней диагональную перегруп­ пировку, и опуская в каждой диагонали точка луча, а каждой точке луча — одна, и сократимые дроби, мы этим обнаружим, только одна, точка отрезка; конечной точ­ что все дроби могут быть перенумерованы. ке N отрезка отвечает бесконечно удален­ При сгущенности ряда рациональных чисел ная точка луча. Оба множества имеют, та могло бы оказаться, что он имеет большую ким образом, одну н ту же мощность. а а я а а ъ 2 z 4 п е е е ± г lt 2 lt 2 3 к х 3 t г t 2 й 4 » >