* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

448' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. х 449' числами сводятся к операциям над целыми числами. Кронекер (Kronecker, 1823—1891) совершенно прав, когда утверждает, что вся эволюция арифметики заключается в развитии учения о целом числе. В основе учения о целом числе лежат две основные идеи: понятие о последова­ тельности и закон совершенной индукции. Дж. Пеано (род. 1858) сводит те свойства натурального ряда, на которых основано все учение о целых числах, а, следователь­ но, и вся арифметика, к следующим пяти положениям: 1) 0 есть член натурального ряда. 2) Каждому члену отвечает один, и толь­ ко один, следующий член. 3) Два различных числа не могут иметь одного и того же следующего числа. 4) 0 не является следующим за какимнибудь членом ряда (т.-е. О есть началь­ ный член ряда). 5) Закон совершенной индукции. Само собой разумеется, что под числом здесь следует разуметь целое число—член натурального ряда. Пятое положение играет в этой системе основных посылок до некоторой степени ту же роль, что и пятый постулат Евклида в геометрии. Оно сложнее остальных, оно по содержанию своему носит совершенно иной характер. Между тем оно играет в грассмановой системе построения арифме­ тики коренную роль. Эти обстоятельства по­ вели к стремлениям пролить больше света на роль этого положения и на его связь с остальными постулатами арифметики. Эти стремления проявляются прежде всего в попытках доказать закон совершенной индукции. Эти попытки имеют свою исто­ рию, но гораздо менее продолжительную, нежели история пятого постулата. Такого рода попытку обосновать закон совершен­ ной индукции можно найти, напр., в I томе «Энциклопедии элементарной математики" Вебера и Вельштейна, посвященном ариф- ке АХ нанесем ряд точек: А — середину отрезка АХ, А — середину отрезка А*Х А — середину А Х и т. д. Далее, пусть В будет середина отрезка XV, В — сере­ дина ВХ> В — середина В Х, В — середи­ на В Х и т. д. Наконец, пусть С будет се­ редина отрезка BY, С --середина C Y, С середина C Y и т. д. Таким образом, точ­ ки, обозначенные буквами А и В (с раз­ личными индексами), сгущаются с двух сторон к точке X, а точки, обозначенные буквой С, сгущаются к точке У. Теперь возьмем весь ряд точек, обозначенных бук­ вами АМ и С (с различными индексами); точки X и Y, следовательно, в этот ряд не входят. Это ряд расположенный: какие бы две точки в нем мы ни взяли, одна из них предшествует другой, а эта последняя следует за первой. Точка А начинает ряд: ей соответствует последующий элемент, но она не имеет предшествующего элемента. Каждой другой точке соответствует опреде­ ленный предшествующий и определенный последующий элемент. Совершенно ясно, что свойства натурального ряда, выра­ жаемые постулатами Пеано 1 — 4, удовлет­ ворены (точка А играет роль 0 в натураль­ ном ряду). Но легко видеть, что закон со­ вершенной индукции в этом ряду справедлив, не будет. В самом деле, свойство, выра­ жаемое предложением «точка (член) нашего, ряда предшествует точке X", принадлежит точке А; если оно принадлежит какой-либоточке (члену) ряда, то оно принадлежит и следующей точке. Это свойство, однако, не принадлежит точкам, отмеченным буквами. Bi и С{. Это обусловливается более сложной структурой нашего ряда: переходя в нем от одного элемента Л,- к следующему, мы никогда не достигнем точек B . 2 ь 2 г 2 Х % 2 х 2 X 3 2 t Возможны расположенные ряды, удовле­ творяющие первым четырем постулатам Пеано, но не удовлетворяющие пятому; этого рода ряды мы будем называть трансфинитными. Закон совершенной индук- X а, 4» 4, В В% 3 В, В Рис. 25. метике и алгебре. Однако, результаты, к которым привели доказательства пятого по­ стулата Евклида, теперь уже были налицо и, естественно, направляли мысль исследо­ вания по тому же пути. Б. Рессель (см.) и А. Уайтхед в своем сочинении Principia Mathematica" вполне этот вопрос разре­ шили. Следующие соображения выясняют их точку зрения. Возьмем на прямой (рис. 25) два после­ довательных отрезка АХ и XY. На отрезa ции есть признак, отличающий натуральный ряд от трансфинитного. Не может быть, по­ этому, никакой речи о доказательстве за­ кона совершенной индукции, основанном на остальных свойствах натурального ряда. Введение его в арифметику равносильносоглашению исключить трансфинитные ря­ ды. Натуральный ряд есть простейший расположенный ряд, лишенный последнего члена. Он лежит в основе нашей арифме­ тики. Можно основать арифметику, поло-