* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
440' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 441' Отметим еще один момент. Положитель ные числа часто отождествляются с ариф метическими числами. Логический смысл этого заключается в том, что под символом • f a мы разумеем то же, что под симво лом а. Против этого нельзя возражать с точки зрения логической. Но более стройной является система Штольца, рас сматривающая арифметические числа толь ко как материал, из которого строятся" положительные и отрицательные числа. В тех случаях, когда мы оперируем со значениями одной величины, находят себе применение только арифметические числа; когда приходится иметь дело со значениями двух противоположных величин, получают применение относительные числа. 25. Комплексные числа. С введением отрицательных чисел получилась область, в которой рациональные операции (сложе ние, вычитание, умножение и деление на число, отличное от нуля) всегда выполнимы. Но за то извлечение корня четной степени — прежде всего квадратного — из отрицатель ных чисел стало невозможным. Стремление выйти из этого затруднения привело к вве дению комплексных чисел, по существу за вершившему эволюцию числовой области. Выше мы довольно подробно изложили историю блуждания мысли в процессе установления понятия о положительных и отрицательных числах. Мы не имеем воз можности остановиться хотя бы столь же подробно на таких же блужданиях, кото рыми сопровождалось построение учения о комплексных числах. Эти блуждания были еще глубже, еще продолжительнее и сопровождались ошибками. Оно и по нятно: иррациональные и отрицательные числа при своем появлении имели под собою конкретный субстрат, т.-е. геометрические и реальные объекты, соотношения которых они выражали; более того, необходимость выражать такого рода соотношения и при вела к введению этого рода чисел. Между тем, комплексные числа долгое время оста вались совершенно абстрактным творением человеческого ума. Как и в ходе возникновения отрицатель ных чисел, комплексные числа появляются сначала как нечто фиктивное (numeri ficti), воображаемое (nombres illusoires), мнимое (imaginaire). И по настоящее время отно сительные числа сохраняют свое наимено вание только в противоположение арифме тическим числам. В противоположение же комплексным, или, как их прежде называли, мнимым числам, их называют действитель Бомбелли („Algebra", 1572), впервые поль зуются отчетливо мнимыми числами. Ив. Бернулли, Лейбниц, Муавр вводят их в анализ (XVII ст.), Гаусс и Коши раз вертывают применения их, которые дают комплексным числам доминирующее зна чение. Но научное обоснование самой арифметики комплексных чисел принадле жит Гамильтону ( Ш 7 ; см.) Мы здесь из ложим основы теории комплексных чисел по Гамильтону. Из каждых двух действительных чисел а и Ъ, как-либо их скомбинировав, ска жем,— в виде (а, Ь), составим символ. Иначе говоря, составим из' действитель ных чисел все возможные размещения по два, и каждое такое размещение вида (а, Ь) будем называть составным, или комплексным числом. Это суть разме щения, а потому комплекс (а, Ь) нужно отличать от комплекса (Ь, а). Действи тельные числа а и Ъ можно называть компонентами комплексного числа (а, Ь). Среди комплексных чисел будут числа вида (а, 0), т.-е. числа, вторая компонента кото рых равна нулю. Каждое число вида (а, 0) мы будем отождествлять с действительным числом а; иными словами, под символом (а, 0) мы будем разуметь то же, что под символом а; это будет новое обозначение того же действительного числа. При этом соглашении в состав совокупности всех комплексных чисел войдут все действи тельные числа, и введение комплексных чисел представляет собою поэтому новое обобщение понятия о числе. Два комплексных числа (а, Ъ) и (а', V) мы будем называть равными, если первые и вторые компоненты их соответственно равны между собою. Иными словами: (а, Ь) = (а\ Ъ'), если а —а' и Ъ — V (1). Установленное таким образом понятие о равенстве обладает всеми свойствами, ко торые должны быть равенству присущи: оно возвратно (т.-е. каждое комплексное число равно самому себе), обратимо и транзитивно. Можно установить и условия, при которых одно комплексное число счи тается ббльшим или меньшим, чем другое. Так, можно считать число {а, Ъ) большим комплексного числа (a' Ь'), если разность а — а есть положительное число, и мень шим, если эта разность есть число отрица тельное; если же эта разность равна нулю, то вопрос на тех же основаниях решается по разности b — V. Эти критерии удовле творяют всем постулатам сравнения.Однако, по характеру применения комплексных чисел, значение имеет только условие их равенства. Под суммой двух комплексных чисел t г ными числами, иногда вещественными числами. Действия над комплексными чис лами долгое время выполняются ощупью, часто неудачно. Итальянские алгебраисты XVI в., Кардан („Ars magna", 1545) и