* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

418' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 419' предыдущей главе мы уже говорили о том, при каких условиях один член натурального ряда считается больше или меньше другого. а = Ь-}-с (16), Остановимся теперь на этом подробнее. где с > 0 (ибо при с = 0 мы имели бы Натуральный ряд, как нечто готовое, задан­ ное, как мы видели, служит основанием а = Ь). Теперь легко доказать, что при а > Ь и всей грассмановой арифметики. Он пред­ Ь, отличном от нуля, всегда существует ставляет собою ряд символов, расположен­ одна и только одна пара чисел от и г, ных в определенном порядке. Учением об операциях над целыми числами (членами удовлетворяющих соотношениям: натурального ряда) для каждого целого числа установлено множество символов, его a=bm -\- г и г < & (17). выражающих; так, например, число 15 можно Число т называется частным, а число г— выразить также символами 13 + 2, 10-f-5, остатком от деления числа а на число Ь. 3.5, 17 — 2,... Будем теперь через SI обо­ Из этого определения разматывается все значать натуральный ряд, черев 2)? — сово­ учение о делении целых чисел, включая купность всех символов, которыми в силу сюда и учение о делимости, т.-е. о случаях соглашений, установленных арифметикой целых чисел, члены натурального ряда мо­ деления, в которых остаток равен нулю. гут быть обозначаемы; это есть, таким об­ В изложенном заключается вся грассманова арифметика натурального ряда. Сфор­ разом, комплекс, или многообразие, в том мулируем теперь, в чем заключается сущ­ смысле, как это понятие установлено в ст. величина (см. IX, 346/50) и в главе 20 ность этого учения. настоящей статьи. 1) Точкой отправления служит натураль­ ный ряд, который считается как бы задан­ Пусть т и т.' будут два элемента много­ ным, известным. образия Ш, т.-е. два символа, обозначаю­ 2) Над членами натурального ряда (це­ щие члены натурального ряда Ш. Мы будем лыми числами) устанавливаются операции, говорить, что т равно т' (m = m'), если определения которых выполняются методом символы ш и т ' выражают один и тот же совершенной индукции. член натурального ряда (одно и то же це­ 3) Путем совершенной индукции из этих лое число). Мы будем говорить, что т определений выводятся основные арифме­ больше т' (т > mf), если т означает член тические законы I — V. натурального ряда, следующий за mf, и что 4) Из этих основных законов строго т меньше т' (т < т% если т означает формально выводятся все преобразования член натурального ряда, предшествующий суммы, разности, произведения и частного члену т! Понятия „равно", «больше" и „меньше", этим путем установленные, удо­ (целого). 5) Целые числа рассматриваются только влетворяют постулатам сравнения (см. IX, как символы, входящие в состав натураль­ 348/50). Правда, это связано с нашими пред­ ставлениями о тождестве и последователь­ ного ряда. 6) Безукоризненная логика арифметики ности. Так, напр., транзитивность понятия покоится на двух принципах: на принципе „больше", сводящаяся к тому, что при свободного обозначения и принципе совер­ т > т', т" > т" имеет место соотношение т > т", вытекает из того, что член т по­ шенной индукции. Грассман не ограничивается тем мате­ следовательности, следующий за членом т', риалом, который мы привели выше. Он который, в свою очередь, следует за членом строит также арифметику целых отрица­ mf', необходимо следует также за членом тельных чисел, разматывая ее одновре­ т"). Этого мы не доказываем; мы здесь менно с учением о натуральном ряде*). апеллируем к понятию более общему, ле­ Он, далее, строит арифметику дробных и жащему за пределами арифметики. иррациональных чисел. Но учение о дро­ Этими соотношениями совокупность це­ бях у Грассмана уже значительно слабее, лых чисел претворена в величину. Строго а учение об иррациональных числах ника- говоря, называя члены натурального ряда целыми числами, мы до некоторой степени *) Грассман фактически оперирует с двусторон­ предвосхищаем историческую эволюцию по­ ним натуральным рядом, неограниченно простираю­ нятия о числе. Понятие это в первой своей щимся как в одну сторону (положительную), так и формации, как в историческом его разви« другую (отрицательную). Если число а следует за числом Ъ в на­ туральном ряду, то говорят, что а больше Ъ (в знаках а > о) и что Ь меньше а(Ь < а). Из основной теоремы о существовании разности следует, что при а>Ь множителей равно нулю, то по крайней заключается в том, что он построил строго мере один из сомножителей равен нулю. научную арифметику натурального ряда и тем заложил фундамент не только научной арифметики, но и всего анализа, иными словами, если произведение двух кой ценности не имеет. Заслуга Грассмана 21. Учение о рациональных числах. В