* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

416 f ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 417' В силу установленного уже соотноше­ чисел а и b и обозначается символом а—Ь\этот символ определяется соотношением ния (4) а = (а— b\ + b (13). 6 + ( л + !) = (& + л ) + 1 (7), а потому Из того же соотношения (4) следует: Определив таким образом понятие о раз­ свойства суммы и разности, выражающиеся равенствами: а + [Ь + {п + 1)\ = а+[(Ь + п)+1] (8).ности и вычитании, Грассман устанавливает a + \{b + n.) + l] — {a + (b + п)\ + 1 (9). а л. (Ь — с) •= (а -4- Ь) —с а—(Ь + с) = {а — Ь)—с а — (Ь — с) = a - j - с — b (Щ). В силу сделанного допущения, которое выражается равенством (5), правая часть последнего равенства равна [(a -4- b) - j - л] -f -1. Отсюда проистекают дальнейшие свойства Итак, преобразование левой части равен­ суммы и разности, выражающиеся извест­ ства (6) через соотношения (7), (8) и (9) ными правилами сложения и вычитания приводит к равенству: многочленов. Каждый шаг в этой теории a+[b + {n+i)] = l{a-\-b) + n] + \ (10). неизменно проводится методом совершен­ ной индукции. Умножение целых чисел Грассман опре­ Согласно тому же соотношению (4) деляет также индуктивно. Прежде всего (Л + * Ж Л + 1 ) = Г ( * + *) + Л] + 1 (П). равенства а>0 = 0 и аЛ — а (Щ Равенства (10) и (11) показывают, что обе части равенства (6) выражают один и тот же член натурального ряда, а потому представляют собою определения, устана­ равенство это справедливо. Вместе с тем вливающие, что: под произведением на­ индуктивно по отношению к с доказано со­ турального числа на нуль мы разумеем отношение (I), т.-е. сочетательность суммы. нуль; под произведением натурального Мы подробно привели это доказательство числа на 1 мы разумеем то же число. для того, чтобы отчетливо выяснить, каким За этим следует индуктивное определение, образом Грассман применяет метод совер­ выражаемое равенством шенной индукции. Совершенно тем же пу­ й - (л-f 1) — а-п-\-а (15). тем Грассман устанавливает второй основ­ ной закон сложения, который выражается Смысл его заключается в следующем. равенством Предполагая известным, что разумеют под a + b^b-\-a (II) произведением натурального числа а на натуральное число л), и известен под названием закона переме­ навливает, что мы п (т.-е. а • под оно уста­ разумеем произве­ стительности (или коммутативности). дением а • (п -4-1); именно, под произведе­ Из этих двух основных законов можно числа а на число (п -f-1) мы разу­ вывести все остальные свойства сложе­ нием произведение а * п, увеличенное чи­ меем ния, заключающиеся в том, что можно сла­ слом а. Из этого определения, неизменно гаемые соединять в какие угодно груп­ путем совершенной индукции, выводятся пы, складывать слагаемые каждой группы в каком угодно порядке, а затем сложить три основных свойства умножения: пере­ полученные частные суммы; результат местительность произведения, сочета­ тельность (общая сумма) не зависит ни от группи­ относительноего и распределительностьсуммы, которые ровки слагаемых, ни от порядка их распо­ тельно выражаются равенствами:последова­ ложения в каждой сумме; и это устанавли­ вается индуктивно по отношению к числу а . л—л . & слагаемых. а-(Ь • с) = (я • Ь)- с (IV). Исчерпав таким образом теорию сложе­ я»(£-)-с) = а - £ - т - я - с ния целых чисел, Грассман переходит к вы­ читанию. Если а есть число натурального Из этих свойств выводятся все арифмети­ ряда, следующее за b или совпадающее ческие преобразования, известные под на­ с Ь, то всегда существует один и только званием умножения одночленов и много­ один член натурального ряда х, для ко­ членов. торого Для перехода к делению необходимо а = х+Ь (12). установить еще одно очень важное свой­ ство, заключающееся в следующем: Это доказывается индуктивно по отноше­ нию к Ь. Число х называется разностью если а • ь = 0 и а^=0, то 6 = 0 (V);