* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

414' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 415' Смысл его ограничивается тем, что под сло п. Но равенства (1) и (2) устанавли­ символами а + 1 и а' мы условливаемся вают, чтб значит прибавить число 0 или разуметь одно и то же, а именно —член число 1. Поэтому равенство (3) устанавли­ натурального ряда, следующий за а. вает, что значит прибавить число, следую­ Равенства (1) и (2) выражают определе­ щее за 1 (т.-е. 2); но в таком случае равен­ ния, устанавливающие значение двух новых ство (3) устанавливает, чтб значит приба­ •символов: а-{-0 и a -f-1. Составление по вить число, следующее за 2 (т.-е. 3), затем числу а чисел a 4- 0 и а 1 называют число, следующее за 3, и т. д. Методом также прибавлением к числу а числа О совершенной индукции равенство (3) вместе яла, соответственно, числа 1. с предшествующими ему равенствами (1) Предыдущие определения можно выра­ и (2) устанавливает, что значит прибавить зить так: прибавить к натуральному к натуральному числу а любое число п. Такого рода определение, устанавливаемое числу а нуль значит взять то же число; методом совершенной индукции, называ­ прибавить 1 — значит взять следующий ется индуктивным определением. Введя член натурального ряда. Необходимо отметить один принцип, кото­ индуктивные определения, Грассман зало­ рый лежит в основе как этих, так и всех жил прочный фундамент научной арифме­ дальнейших определений в том смысле, что тики, прежде всего — арифметики нату­ тарантирует невозможность логической рального ряда. ошибки, из этих определений проистекаю­ Так как равенства (1), (2) и (3) содер­ щей. Он заключается в следующем: если мы жат исчерпывающее определение символа вводим новый символ, или термин, кото­ + b (т.-е. исчерпывающее определение а рый раньше не имел никакого значения, суммы или операции, при помощи которой то мы можем условиться разуметь под вычисляется, — сложения), то все свой­ она зтим символом, или термином, любой ства суммы должны в этих равенствах со­ ранее установленный объект. На этом держаться, или, иначе, должны логически из праве именовать любой объект произволь­ них вытекать. Грассман показал, что все ным термином, или обозначать его любым свойства суммы двух целых чисел действи­ символом, не имеющим иного значения, и тельно можно вывести из соотношений на законе совершенной индукции основана (1) — (3), пользуясь опять-таки законом со­ вся арифметика. Содержание этого прин­ вершенной индукции. Покажем это на ципа отчетливо оттеняет условный, конвен­ том свойстве суммы, которое известно под циональный характер дисциплины; мы бу­ названием закона сочетательности (или дем называть его принципом свободногоассоциативности). Оно выражается ра­ обозначения. венством: Итак, равенства (1) и (2) устанавливают a+(b + c) = {a + b)+c (1). значение символов я-f-О и а -f- 1, или, ина­ че, устанавливают, что" значит прибавить к натуральному числу 0 или 1. Мы мог­ При с==0, в силу определения (1), как ле­ ли бы аналогично определить, чтб значит вая, так и правая часть этого равенства прибавить к натуральному числу 2 (число, обращается в а + Ь; теорема, таким обра­ следующее за 1), 3 и т. д. Но чтобы этим зом, справедлива. При с — I равенство путем установить, что значит прибавить имеет вид: любое число, нужно было бы сделать бесчис­ a + (b + l) = {a + b) + l (4). ленное множество соглашений, установить бесчисленное множество определений вида -(1) и (2). "Закон совершенной индукции В силу определения (3) левая часть этого приходит здесь на помощь. Допустим, что равенства выражает число натурального мы установили, что значит прибавить к на­ ряда (д-{-£)', т.-е. следующее за а + Ь. туральному числу а число п, т.-е. устано­ В силу определения (2) тот же член нату­ вили значение символа а -f- п. В таком слу­ рального ряда выражается правой частью чае условимся под символом