* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

386' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 387' Совершенно так же определяют поверхности 3-х, 4-х и более высокого числа измере­ ний, входящие в состав многообразия я из­ мерений. Основным моментом в развитии идей Римана является установление элемента длины. В евклидовом пространстве в орто­ гональных декартовых координатах элемент ром Минковского. длины линии, определяемый точками (x л* , С точки зрения механистического мате­ риализма, все мироздание состоит из веще­ *з) (*i + v 2 + 2> z + z), выра­ ства, постоянно несущегося во все стороны. жается формулой: В каждый момент в каждой точке нахо­ dst=dx£ -f- dxg + dxg (3a)x дится определенная частица вещества, имеющая определенную скорость. Поэтому, В косоугольных декартовых координатах чтобы определить физическое состояние элемент длины выражается более сложным в данный мировой момент (т.-е. в данный выражением: момент в данной точке), нужно еще опре­ делить плотность вещества в этой точке и ds* = dx? + dx£+dxg + 2dx йх cos % -f-f-2 dx% dx cos b + 2 dx$ dx cos $ (3b), его скорость; плотность определяется одним числом, а скорость тремя слагающими век­ тора. Элементом мироздания, рассматривае­ где b , d , Ь суть углы, попарно образуе­ мого с точки зрения кинематического его мые осями координат. В криволинейных, состояния, является частица материи, нахо­ координатах—например, в сферических, крудящаяся в определенный момент в опреде­ гово-цнлиндрических, эллиптических и дру­ ленной точке и имеющая определенную гих—элемент длины имеет более сложное скорость. Для определения этого элемента выражение, которое, однако, всегда имеет необходимо 8 координат (3 координаты вид: точки в пространстве, показание часов, dsz = g dx^ +g dx£ + g^dxi - f плотность вещества, 3 слагающие скоро­ + gl2 l 2 + gl 2 X + gu l 9 + сти). Мироздание в этом понимании пред­ ставляет собой многообразие 8 измерений. - f gsidx^Xi -f- gn 2 z -T g&bc&x* ( ) • В обыкновенном пространстве линия где коэффициенты g j суть функции от коор­ определяется тем, что три координаты точ­ динат х х , x точки, из которой линей­ ки выражаются через один параметр (этим ный элемент исходит. (Член, содержащий параметром может служить одна из коор­ произведение dx dx%, здесь для симметрии динат, и тогда две координаты выражаются и удобства многих вычислений разбит на через третью). Поверхность определяется два члена g dx dx% - f £21 i v> Р тем, что координаты каждой ее точки вы­ этом принимается g =g2il общее значение ражаются функциями двух параметров. этих двух коэффициентов, таким образом, Соответственно этому Риман разумеет под представляет собою половину всего коэф­ линией в многообразии л измерений сово­ фициента при произведении дифференциа­ купность его элементов, которые опреде­ лов dx dx*). Так, если в полярных коорди­ ляются значениями одного параметра. натах х означает радиус-вектор точки, Если х х& дг ,..., х суть координаты эле­ х%—ее долготу, а х —ее зенитное расстоя­ мента, то линия в этом многообразии выра­ ние, то жается уравнениями: ds* — dx£ + х£ sin* д- dx£ - f х£ dx£\ v 2 и нат, численные значения которых опреде­ ляются измерением. Многообразие имеет (по определению) п измерений, если его эле­ мент определяется п координатами. Обык­ новенное пространство, таким образом, пред­ ставляет собой многообразие 3 измерений. Если же за элемент многообразия примем определенный момент времени в опреде­ ленной точке пространства, то для задания этого элемента потребуется четыре коорди­ наты: три декартовы координаты, опреде­ ляющие положение точки в пространстве, и показание часов в рассматриваемый мо­ мент. Следуя идее Римана, Маяковский (см.) назвал этот элемент мировым моментом. Итак, мировой момент есть определенный момент времени в определенной точке про­ странства. Совокупность всех мировых мо­ ментов составляет многообразие 4-х изме­ рений, которое теперь часто называют ми­ многообразия; совокупность всех этих эле­ ментов и образует линию. Линия предста­ вляет собою, таким образом, многообразие одного измерения, входящее в состав мно­ гообразия п измерений. Таким же образом двухмерной поверхностью в многообразии п измерений называют совокупность эле­ ментов, координаты которых выражаются через два параметра: х — 4 (и я ), х =/ (и и ), = =/« ( % » ( 2 ) . у ь 2 2 2 ь 2 dx х dx x dx t г % t t 2 t 2 $ a n dx dx dx dx dx dx 2 dx dx 3 t ь 2 z x d x dx П И m x n t х ь 3 п ь * 1 = Л (u),x —f 2 2 (и),.. . , * „ = / „ (и) (1). 3 Каждым значением параметра и при помо­ щи этих уравнений определяется элемент ЗДеСЬ g u = l » g22 = i S™ X x 2 2 9> g& = XiK = #32 = °" glSt = £21 = £l3 = gzi = 4Г23