* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

380' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. ности; иными словами, эти проективные пре­ деляются точками Л и В, и, следовательно образования ие меняют окружности, как ангармоническое отношение (ABCD) опре­ целого. Ясно, что если этой окружности не деляется двумя „точками" А и £; иными меняют ни преобразование S, ни преобразо­ словами, если нам известны „точки" А и В вание $', то ее не меняет и преобразова­ то мы можем найти точки С и D и вычи­ ние SS', из них составленное. Поэтому все слить ангармоническое отношение (ABCD)\ проективные преобразования, не меняющие оно представляет собою число, которое* этой окружности, образуют группу; такого известно, если даны „точки* А и В, кото­ рода группу принято называть группой рое определяется „точками" А и В. Мы Кели, а окружность (в обшем случае — можем, поэтому, обозначить ангармониче­ коническое сечение), которую преобразо­ ское отношение (ABCD) короче — через вания этой группы не меняют, называют (АВ), т.-е. можем положить (ABCD) = (АВ). абсолютом этой группы. Итак, пусть окружность О будет абсо­ лютом группы проективных преобразова­ ний S. Можно показать, что каждое из этих преобразований либо замещает все внутренние точки круга О внутренними же точками, либо заменяет все внутренние точки внешними, и обратно. Выделим те преобразования, которые не меняют всего круга, т.-е. все внутренние точки круга пре­ образовывают во внутренние же его точки. Ясно, что если этим свойством обладают преобразования S и то им обладает и преобразование S$'\ иными словами, те преобразования группы 2, которые не меняют всего круга, также представляют собой группу; обозначим ее через <з, а входя­ щие в ее состав преобразования будем обо­ значать через s, sf, s". Итак, существует группа проективных преобразований, кото­ рые не изменяют данной окружности и преобразовывают точки, внутри ее лежа­ Рис. 23. щие, в точки, также лежащие внутри этой окружности. С другой стороны, если некоторое „дви­ Эту именно группу проективных преоб­ разований Клейн положил в основу заме­ жение" 5 совмещает „точки" А и В с „точ­ чательной интерпретации неевклидовой ками* А' и В', то эта коллинеация преоб­ геометрии. В этой интерпретации мы будем разует „прямую" АВ в „прямую" А'В'. Так под „точками" разуметь те точки плоско­ как точки абсолюта преобразуются также сти, которые расположены внутри нашего в точки, принадлежащие абсолюту, то точ­ абсолюта. Совокупность этих „точек* (т.-е. ки С и D преобразуются в точки С и £У. вся часть плоскости, расположенная внутри Вместе с тем, вследствие инвариантности круга) составит „двухмерное пространство*, ангармонического отношения или „плоскость", в новом значении этого термина. Всякое преобразование s груп­ (ABCD) (А'В СП), или (АВ) = (А'В). пы в мы будем называть „движением* в на­ шей „плоскости" Фигуру S в нашей пло­ B Движения в нашей „плоскости" имеют скости мы будем называть „конгруэнтной* инвариант (АВ), зависящий от двух точек. фигуре Sp', если существует „движение", Посмотрим, обладает ли этот инвариант т.-е. преобразование группы с, преобразо­ свойством дизъюнктивности по отношению вывающее фигуру S в B Пусть Л и В будут к двум точкам и аддитивностью по отно­ две „точки" (рис. 23); продолжив прямую АВ, шению к прямой линии. Если точка А получим з пересечении с окружностью точ­ остается неподвижной, а точка В к ней ки С и D (С со стороны точки В, D со неограниченно приближается, то оба отно­ стороны точки А). Под „прямой" АВ бу­ шения АС:ВС и AD-.BD стремятся к 1, дем разуметь ту часть обыкновенной пря­ а вместе с тем, в силу основного опреде­ мой АВ, которая лежит внутри абсолюта, ления (1), к 1 стремится и значение ангар­ т.-е. между точками С и D. Для обитателя монического отношения (ABCD). Эго мож­ этой „плоскости* совершенно не существу­ но выразить так: (АА)~ (AACD) = 1. ет точек, лежащих за пределом абсолюта. Итак, когда точка В совпадает с Л, то Теперь заметим, что точки С и D опре­ значение инварианта группы (АВ) обра-