* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
356' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 357' ческих треугольников один катет образо ван отрезком прямой линии, другой—дугой окружности, а тре тий — дугой винто вой линии. Легко понять, что фор мально по своему содержанию, еще точнее—по словес ному своему выра жению, геометрия такого цилиндра со впадает с геомет рией той части плоскости, которая на этот цилиндр на вертывается: фигу рам, конгруэнтным на этой части пло Рис. 11. скости, будут отве чать фигуры, кон груэнтные на поверхности цилиндра, и т. д. При всем том, геометрия круглого цилиндра в целом будет отличаться от гео метрии плоскости по двум причинам: во-первых, на ци линдр навертыва ется не вся пло скость, а только часть ее, во-вто рых — края навер тываемой на ци линдр прямоуголь ной полосы схо дятся: благодаря этому горизонталь ные геодезические линии становятся замкнутыми и име ют конечную длину. Если мы, однако, вместо круглого цилиндра возьмем цилиндр с беско нечной образую щей, то мы полу чим поверхность, на которой целиком осуществляется евклидова геомет рия. Для большей определенности во образим себе пара болу на горизон тальной плоскости и вертикальную об разующую, сколь Рис. 12 зящую по этой па раболе (рис. 12). Она образует бесконечную разомкнутую цилиндрическую поверхность. При навертывании на нее вертикальной плоскости вертикальные прямые останутся прямыми, горизонтальные изогнутся в па раболы, а наклонные примут вид парабо лических винтов. Геодезические линии, та ким образом, здесь будут иметь различ ные формы, но все они будут бесконечны, и через две точки всегда будет проходить только одна геодезическая линия. Вместе с тем геометрия на поверхности параболи ческого цилиндра будет полностью совпа дать с геометрией плоскости. Каждое пред ложение евклидовой планиметрии будет здесь справедливо, но только под прямыми линиями здесь нужно будет разуметь гео дезические линии поверхности. Эти результаты поучительны в двояком отношении: во-первых, они, как уже указа но, умножают число поверхностей, на ко торых можно развивать геометрию теми же методами, которыми строится геомет рия Евклида. Во-вторых, и это, может быть, еще важнее, мы уясним себе, что евклидова планиметрия получает осуще ствление не только на плоскости. Подробнее: если мы оголим словесный текст евклидо вой планиметрии, то содержание ее может оказаться справедливым при различном по нимании терминов, в этот текст входящих. Она будет справедлива, если под прямыми разуметь обыкновенные прямые на плос кости, под углами—обыкновенные прямо линейные углы, под движением—переме щение фигуры по плоскости без деформа ции. Но все те же предложения будут справедливы и в том случае, если под пря мыми разуметь геодезические линии на параболическом цилиндре, под углами— криволинейные углы, этими геодезическими линиями образуемые, под движением—пе редвижение фигур на параболической по верхности, сопровождаемое их изгиба нием. Всякую систему образов, которую можно разуметь под терминами геометрии, мы будем называть интерпретацией этой гео метрии, или формой ее осуществления. Вывод, к которому мы выше пришли, мы можем формулировать, следовательно, та кими словами: евклидова планиметрия до пускает различные интерпретации, раз личные формы осуществления. Если мы примем во внимание, что евкли дова планиметрия получит осушествление на любой поверхности, на которую плос кость может быть навернута, то мы легко представим себе, сколь многообразными могут быть эти различные формы осуще ствления, -эти интерпретации евклидовой планиметрии. 8. Геометрия поверхностей постоян ной кривизны. Возвратимся теперь к во просу о том, на каких поверхностях воз можно передвижение фигур, сопровождаемое изгибанием. Некоторое затруднение в уясне-