* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

О' Рис. 9. основного линейного образа играют окруж­ ности больших кругов. Геометрия сферы изучает эти окружности, углы треугольни­ ка и многоугольника, ими образуемые. Но так как окружности больших кругов на .сфере всегда пересекаются в двух точках, л не в одной, как две прямые, то геомет­ рия сферы значительно отличается от гео­ метрии плоскости. Так как в неевклидовом пространстве предельная поверхность может гак же сво­ бодно передвигаться по самой себе, как плоскость или сфера, то Лобачевский за­ нялся изучением геометрии предельной по­ верхности. За основной образ, соответствую­ щий прямой на плоскости, Лобачевский здесь принял предельную линию. Она имеет с прямой аналогию, заключающуюся в том, 'что она определяется на предельной по­ верхности двумя точками и можег быть неограниченно продолжена в обе стороны. Разматывая шаг за шагом геометрию на яредельной поверхности, Лобачевский к своему изумлению убедился, что эта гео­ метрия— евклидова. Через каждую точку «редельной поверхности можно провести одну и только одну предельную линию, не встречающую другой предельной линии; •сумма углов в треугольнике, составленном из предельных линий, равна 2d и т. д. Итак, двумерная евклидова геометрия не уничтожается тем, что мы отвергаем пятый постулат на плоскости: она возрождается на предельной поверхности. Это имеет и то значение, что вместе с ней возрождается и тригонометрия Евклида. Владея же три­ гонометрией на предельной поверхности, Лобачевский переходит от нее к тригоно­ метрии на неевклидовой плоскости подобно тому, как мы в обыкновенной геометрии переходим от плоской тригонометрии к сфе­ рической. Чтобы дать некоторое предста­ вление о тригонометрии на неевклидовой плоскости, необходимо ознакомиться еще с одной весьма существенной идеей. Из точки О, лежащей в некоторой плоско­ сти (рис. 10), опустим перпендикуляр ON на прямую АВ, лежащую в той же плос­ кости. С точки зрения неевклидовой' гео­ метрии на плоскости через точку О про­ ходят две прямые OA' и ОВ', параллельные прямой АВ; луч OA' параллелен лучу ВА, луч 08' параллелен лучу АВ. Оба луча образуют с перпендикуляром равные острые углы A'ON к BON. Эти углы, которые параллели образуют с перпендикуляром, Ло­ бачевский называет углами параллельно­ сти. Величина угла параллельности зависит только от длины перпендикуляра ON: как Лобачевский легко доказывает, он убывает, когда длина перпендикуляра увеличивается, и возрастает, когда длина перпендикуляра уменьшается. При неограниченном возраста­ нии расстояния ON ("т.-е. при неограничен-