* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

338' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 339' присоединялось предложение, ему противо­ с абсолютной геометрией, которое он так положное. Из этого геометрического ма­ настойчиво искал. В действительности, одна­ териала делались логические выводы в ко, это противоречие есть только плод не­ убеждении, что они приведут к. прямому доразумения, вернее—плод неосторожного логическому противоречию с ранее при­ обращения с бесконечно удаленными точ­ нятым. Став на этот путь, одни доволь­ ками, которое в эту эпоху было очень обыч­ но быстро сбивались, усматривая проти­ ным. Сомнения в правильности этого за­ воречие там, где его в действительности ключения явственно проглядывают в даль­ не было. Нужно дать себе ясный отчет в нейших рассуждениях самого Саккери. том, что противоречие должно быть не ин­ Философ и математик Ламберт, в сере­ туитивное, а логическое; иными словами, дине XVIII ст., не знал работы Саккери, цель нельзя считать достигнутой, когда мы но шел по тому же пути, чуть-чуть иначе придем к выводам, противоречащим нашим формулируя исходное положение. Развивая (Геометрическим представлениям: это ведь следствия, из него проистекающие, он так­ всегда бывает, как только .мы становимся же очень тонким рассуждением приходит на путь доказательства от противного. Что­ к ряду предложений, которые имели бы бы действительно достигнуть цели, мы долж­ место, если бы считать постулат Евклида ны, как уже сказано, притти к противоре­ ложным. Ламберт уже не впадает ни в чию логическому, т.-е. мы должны притти какую ошибку: он ясно сознает, что ни к к предложению, отрицающему то, что бы­ какому противоречию его допущение не ло принято нами ранее. Этого именно не приводит. Поражаясь, напротив, чарующей понимали достаточно ясно многие из тех, стройности, к которой его рассуждения которые становились на путь доказатель­ приводят, он бессилен сделать отсюда ства от противного; придя к выводу, ярко окончательный вывод я только востор­ противоречащему нашим геометрическим женно восклицает: „В этом есть нечто представлениям, нашим пространственным восхитительное, что вызывает даже жела­ образам, они считали вопрос исчерпан­ ние, чтобы третья гипотеза была справед­ ным. Другие их в этом изобличали, но лива. И все же я желал бы, несмотря на сами делали то же самое, только про­ это преимущество, чтобы это было не так, двинувшись по этому скользкому пути потому что это было бы сопряжено с ря­ несколько далее. Но более глубокие мы­ дом других неудобств. Тригонометрические слители умели пройти в этом направлении таблицы стали бы бесконечно пространны­ далеко. ми, подобия и пропорциональности фигур Вступая на путь доказательства пятого не существовало бы вовсе; нн одна фигура постулата от противного нужно, как сказа­ не могла бы быть представлена иначе, как в но, начать с того, чтобы принять, как пред­ абсолютной своей величине: и астрономии положение, противоположное допущение. пришлось бы плохо." По тому же пути безуспешных попыток Так как самый постулат, как мы видели, может получить весьма различное выраже­ доказать постулат Евклида от противного, ние, то весьма различны также и формы сопровождаемых открытием замечательной противоположного положения, из которого цепи выводов, к которым приводит отрица­ исходили доказывавшие постулат от про­ ние этого постулата, шли позже также дру­ гие талантливые математики, как, например, тивного. Джироламо Саккери (Saccheri), итальян. Вахтер, Тауринус, Швейкарт. Они углу­ били этот материал стройных выводов из монах, иезуит (1667—1733), исходит из во­ проса о сумме углов треугольника (у него, парадоксального допущения и проложили впрочем, несколько иначе поставленного». путь геометру, который решился бы смелее Здесь возможны, как мы уже видели, три занять позицию действительного отрицания гипотезы. С первой из них Саккери легко евклидова постулата. Повидимому, первый решительно и твер­ «справляется, доказывая, что сумма углов треугольника не может превысить 2d. до стал на этот путь великий германский •Остаются два предположения — евклидово, математик Гаусс (см.). Однако, за всю свою что сумма углов треугольника равна 2d, жизнь Гаусс ни разу не опубликовал своих и противоположное, т.-е. неевклидово, что взглядов на этот предмег, напротив того, эта сумма меньше 2d. Саккери принимает он тщательно их скрывал, справедливо опа­ это последнее допущение, не придавая ему саясь той нетерпимости, которая будет про­ дного значения, как только предположения, явлена математиками по отношению к этим которое должно привести к абсурду. Тонко чрезвычайно своеобразным идеям. Только разматывая выводы из сделанного допуще­ из его переписки с друзьями и учениками ния, Саккери устанавливает 32 предло­ (В. Больай, Ольберсом, Герлингом, Шумахе­ жения, к которым оно приводит; в 33-ем ром), опубликованной после его смерти, а предложении он уже пользуется бесконеч­ также из оставленных им заметок, ныне но большими и приходит к противоречию опубликованных в VIII томе полного собра-