* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

336' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 337' берт указывает, что доказательство евкли­ дова постулата можно довести до такого положения, что остается, повидимому, толь­ ко совершенно незначительная мелочь. Но по тщательном размышлении оказывается, что в этой мелочи именно и заключается вся суть дела. Постулат Евклида прежде всего служит краеугольным камнем теории параллель­ ных линий. Точнее, дело обстоит следую­ щим образом. Учение о параллельных линиях начинается рядом предложений,устанавлиеающих достаточные условия парал­ лельности двух прямых. Если две прямые на плоскости при пересечении их третьей образуют с ней равные соответственные углы, или равные внешние накрест-лежащие либо внутренние накрест-лежащие углы, или если сумма внутренних односторонних либо внешних односторонних углов равна 2d, то прямые параллельны. Эти предло­ жения очень просто доказываются без но­ вого постулата. Но обращение их неизбеж­ но требует постулата в той или иной его форме. Достаточно непосредственно при­ нять любое из обратных предложений, и оно заменит евклидов постулат. Достаточно принять, что в плоскости через точку, лежащую вне прямой, проходит только одна прямая, не встречающая первой,—и это допущение заменит евклидов постулат. Можно придать постулату и различные другие формулировки. Существо дела за­ ключается, конечно, не в том, как постулат выражен. Важно то, что все попытки обой­ тись вовсе бгз нового постулата в теории параллельных линий не увенчались успе­ хом. Особенно замечательна связь между постулатом Евклида и вопросом о сумме углов треугольника. В евклидовой гео­ метрии, как известно, сумма внутренних углов в треугольнике равна 2d. Точнее, это значит, что, если мы примем постулат Евклида, то легко докажем, что сумма вну­ тренних углов каждого треугольника равна 2d. Что можно установить относительно суммы внутренних углов треугольника, не пользуясь постулатом Евклида? Относящие­ ся сюда простые, но чрезвычайно изящные исследования связывают обыкновенно с именем Лежандра; в действительности эти результаты были гораздо раньше получены Саккери (XVII ст.) и Ламбертом (XVIII ст.). Сущность дела сводится к следующему. А priori относительно суммы углов в тре­ угольнике можно сделать три предположе­ ния: она может быть больше 2d, она может быть равна 2d, она может быть меньше 2d. Но первое предположение отпадает: не пользуясь пятым постулатом, можно при помощи очень элементарных соображений доказать, что сумма внутренних углов тре­ угольника не превышает 2d. Выбор остается только между двумя другими допущениями а его без пятого постулата сделать невози можно. Правда, можно показать, что, есле сумма углов хотя бы в одном треугольнике равна 2d, то она и во всяком другом тре­ угольнике равна 2d\ если же хотя бы в одном треугольнике сумма углов меньше 2d, то она и во всяком другом треуголь­ нике меньше 2d. Но решить, которое из двух соотношений имеет место, нельзя, не опираясь на евклидов постулат. Если при­ нять пятый постулат, то сумма углов равна 2d; если решиться допустить, что постулат несправедлив, нужно принять, что сумма углов треугольника меньше 2d. В этом последнем случае, как оказывается, сумма углов может меняться от треугольника к треугольнику, при чем угловой дефект, т.-е. недостаток суммы углов до 2d, дол­ жен быть пропорционален площади тре­ угольника. Такая же тесная связь существует между пятым постулатом и учением о подобии. Обычное построение теории подобия цели­ ком основано на евклидовом постулате. Уже Валлис (1616—1703) показал, что доста­ точно допустить существование подобных фигур произвольного размера, чтобы полу­ чить всю геометрию Евклида. Учение о подобии, таким образом, существенно за­ висит от постулата. С учением о подобии неразрывно связана евклидова метрика: учение об измерении площадей и объемов; таким образом, и эта часть геометрии тесно связана с пятым постулатом. Изложенное достаточно выясняет, как глубоко проникает пятый постулат в су­ щество евклидовой геометрии. 5. Открытие неевклидовой геометрии. Многие пытались доказать пятый постулат от противного. Всякое доказательство от противного заключается в том, что доказы­ ваемое предложение предполагается лож­ ным, т.-е. отвергается, и из этого предпо­ ложения делаются логические выводы. Можно сказать так: к предыдущим, уже установленным геометрическим аксиомам и теоремам присоединяется предложе­ ние, противоположное тому, которое тре­ буется доказать, и из этого материала де­ лаются логические вывопы до тех пор, пока они не приводят к прямому противо­ речию с одним из установленных уже пред­ ложений. Такое противоречие устанавли­ вает неправильность сделанного предполо­ жения и тем доказывает справедливость того предложения, доказать которое соб­ ственно имелось в виду. Так именно и по­ ступали все те, которые пытались доказать пятый постулат от противного. Делалось предположение, что пятый постулат неспра­ ведлив, и к абсолютной геометрии, уже установленной без помощи этого постулата.