* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

334' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 335 сводится к тому, что сумма двух углов тре­ угольника MNP меньше 2d (а + b < 2 d). Это предложение далее нужно обратить. Обращение гласило бы: если две прямые (конечно, на плоскости) при пересечении их третьей образуют с ней внутренние одно­ сторонние углы, сумма которых не равна 2d (т-е. с одной стороны секущей мень­ ше 2d, а с другой ее стороны больше 2d), то эти прямые с той стороны, с ко- абсолютной (иногда общей, .allgemeine Geometric"), а вторую — евклидовой. Эта своеобразная роль постулата, его внезапное появление уже глубоко в плани­ метрии, его сравнительная сложность, его значение, расчленяющее геометрию на две части,—все это казалось неправильным, не­ нормальным, и уже в глубокой древности появилось стремление это исправить: для этою нужно было устранить постулат, как основное положение; нужно было доказать выражаемое им предложение при помощи остальных постулатов Евклида. Если бы это было выполнено, в теории параллель­ ных линий не было бы неприятного про­ бела, геометрия не расщеплялась бы на две части, в ней царили бы полная гар­ мония и единство. Это обстоятельство вы­ звало много усилий доказать постулат. Вследствие кажущейся элементарности этой задачи, не требующей больших знаний л (ибо доказать предложение нужно, распо­ Рис. 3 лагая только первыми 28 предложениями .Начал"), к ней обращались многие, вла­ торой сумма меньше 2d, при достаточном девшие лишь незначительной математи­ продолжении неизбежно пересекутся. Спра­ ческой подготовкой. Но рядом с такого ведливость этого предложения ясна вся­ рода полуграмотными математиками за­ кому, кто естественно связывает с основ­ дачей о восполнении пробела в теории ными геометрическими понятиями обычные параллельных линий занимались и весьма пространственные представления. Отсюда выдающиеся геометры. Более того, на про­ возникло естественное стрем: ение доказать тяжении двух тысячелетий, or Евклида до это (обращенное) предложение. Повиди- Лежандра, Гаусса и Гильберта, трудно мому, не один геометр до Евклида на­ указать выдающегося геометра, который пряженно старался найти доказательство не уделил бы внимания, а иногда и упор­ этого предложения. Но эти старания ни к ного труда этой как будто скромной эле­ чему не привели; доказать его не уда­ ментарной проблеме. Неоднократно ма­ лось, и Евклиду ничего не оставалось тематическому миру возвещалось, что эта сделать, как включить это предложение в трудность уже преодолена, и позорное пят­ число основных положений, принимаемых но в теории параллельных линий, пороча­ без доказательства, т.-е. в число постула­ щее всю геометрию, наконец, смыто. Но тов. Это положение и составляет содер­ спокойное н тщательное обсуждение каж­ жание пятого постулата. Когда оно при­ дого предложенного доказательства неиз­ нято, то геометрия разматывается далее менно обнаруживало в нем ошибку. Одни уже без особых затруднений, — конечно, авторы возводили для доказательства по­ в пределах тех требований, которые мы стулата сложное построение, в котором к системе Евклида можем предъявить. в конце концов запутывались. Другие'при­ Впрочем,в дальнейшем встречается еще мно­ бегали для док?зательства этого элементар­ го предложений, как в планиметрии, так в ного предложения к учению о бесконечноособенности в стереометрии, которые от пя­ малых, методы которого в пору формиро­ того постулата не зависят, т.-е. могут быть вавшегося еще анализа не были достаточно доказаны без его помощи. Но большинство разработаны и часто приводили к грубым дальнейших предложений геометрии суще­ ошибкам. Но чаще всего слабая сторона ственно зависит от пятого постулата в том доказательства заключалась в том, что смысле, что их док?зательство либо не­ автор незаметно для себя допускал вместо посредственно опирается на этот постулат, доказываемого предложения другое, по су­ либо опирается на предложение, доказанное ществу ему эквивалентное. Это новое до­ при помощи этого постулата. Постулат, пущение часто бывало значительно проще таким образом, как бы раскалывает гео­ постулата в евклидовой его форме,—иногда метрию на две части, из которых одна от даже несравненно проще; но дело от этого постулата не зависит, тогда как в другой не менялось: задача заключалась не в том, каждое предложение прямо или косвенно чтобы заменить евклидов постулат более опирается на пятый постулат. Первую часть простым допущением, а в том, чтобы его геометрии не совсем удачно называют доказать, не вводя нового допущения. Лам-