* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

•332' ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ. 333' Папп и Прокл, из средневековых—Клавий, говорить о внутренних ила внешних точк» а позднее Саккери; из арабских коммента­ той или иной фигуры, он руководствуете! торов—-Анариций и Шссер-Эддин, из более исключительно интуицией. поздних—англичанин Грегори и француз­ Комментаторы Евклида заменяли его ский геометр Лежандр(сы.). Каждый из этих определения другими, часто более неудач, комментаторов утверждал, что совершенно яыаи; они увеличивали число постулатов освободил творение Евклида от всяких и аксиом; они заменяли одни постулаты упреков. Саккери отметил это даже в са­ другими; и все-таки существенного улуч­ мом названии своего сочинения— ,Euklides шения не получалось; дедукция все же ab orani naevo vindicates" (Евклид, осво­ оставалась несовершенной, логика все же божденный от всякого пятна). И все же оставляла широкий простор интуиции. Й эти широковещательные обещания и наиме­ иначе оно быть не могло, пока геометр нования совершенно не соответствовали осгавался на той позиции, которую зани­ действительному содержанию сочинений. мали все .составители начал": от пред­ Комментаторы заменяли одни аксиомы шественников Евклида до последователей другими, видоизменяли определения, углу­ Лежандра—они все исходили из определен­ бляли то или иное доказательство, но по ных просгранствгнных образов, их гео­ существу неизменно впадали в те же метрия была наукой об этих образах. И ошибки, которые делал Евклид; они опи­ потому их геометрия, неразрывно связан¬ рались на интуицию, на образные предста­ ная с представлениями об этих образах, вления, доверяя глазу там, где нужен был не могла освободиться от интуиции, не строго формальный логический вывод. Каж­ могла претвориться в чисто формальную дый комментатор обстоятельно критиковал логическую систему. Чтобы этого достигнуть, не только Евклида, но и своих предшествен­ геометр должен был совершенно порвать ников; эго было не так трудно. Но дей­ с какими бы то ни было наглядными пред¬ ствительно продвинуть выполнение задачи о строго логическом обосновании геометрии ставлениями. Прошло много времени, пока вперед, хотя бы в некоторой степени, очень геометры решились стать на эту точку мало кому удавалось. Теоретические осно­ зрения; путь к ней лежал через неевкли­ вания геометрии даже после Лежандра дову геометрию. 4. Пятый постулат Евклида. Неевкли­ оставались еще столь же недостаточно дова геометрия, это замечательное творе­ .выясненными, как и в эпоху Евклида. ние абстрактной мысли, явилась плодом Впрочем, одна заслуга остается за коммен­ исследований, связанных с пятым посгуяататорами Евклида совершенно несомнен­ том Евклида. Содержание этого постуата ная: они отчетливо выяснили слабые сто­ выяснено выше. Всякий, кто сравнит его роны .Начал", осветили все их дефекты. с остальными постулатами, обратит вни­ По существу, дефекта эти сводятся к сле­ мание на то, что содержание его не столь дующему. 1) Самое слабое место в си­ просто, не столь элементарно, как содер­ стеме Евклида составляют определения: она жание остальных постулатов Евклида. Н а в большинстве случаев содержат весьма эго не приходится даже обращать внимание мало тех признаков, на которых могла изучающего предмет, это само бросается бы быть основана формальная дедукция. в глаза. В самой системе. Евклида постуш Основные определения Евклида предста­ занимает своеобразное место. Первые 28 вляют собою краткие описания тех образов, предложений .Начал" не зависят от пятого которые мы связываем с основными поня­ постулата в том смысле, что прн их дока­ тиями. Эти определения можно было бы зательстве к этому постулату прибегать в этом смысле назвать интуитивными, приходигся. Эги 28 предложений со­ не а не формальными. Насколько мало эта держат свойства смежных и вертикальных определения полезны для чисто дедуктивной углов, свойства прямого угла, условия системы, можно судить по тому, что Евклид равенства треугольников, теорему о внеш­ нередко на протяжении всей книга не поль­ нем угле треугольника (он больше кажюго зуется тем или другим определением, при­ из внутренних, с ним не смежных), соот­ веденным в начале ее. 2) Основные поло­ ношения между углами и сторонами в жения Евклида недостаточны для формаль­ одном и том же треугольнике, соотношения ного обоснования геометрии. Почти в каж­ дом доказательстве он неявно принимает между длиной перпендикуляра и наклон­ еще и другие постулаты н аксиомы, им не ных, идущих из 'одной и той же точки к формулированные и явно не высказанные. прямой. Предложение XXVIH устанавли­ 3) Почти в каждом рассуждении Евклида вает (рис. 3), что сумма внутренних oiaoдедукция переплетается с интуицией, и пра­ сторонних углов а й в , которые пересе­ вильность заключения подтверждается не кающиеся прямые АВ и CD образуют только логикой, но и глазом. В особенности с секущей MN с той ее стороны, с которой в тех случаях, когда Евклиду приходится происходит пересечение, меньше 2d. По существу содержание этого предложена*