* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

5Э ОСНОВНЫЯ ИДЕИ ГЕОМЕТРШ. 60 другого пучиа. Это лреддоженде по преимуществу принято называть о с н о в н о й т е о р е м о й п р о е к т и а * ло В геометр!в. Мы ноженъ теперь перейти жъ нажнъЗшнм* прнложитлмъ вгкжъ ндеЙ. Подомнмъ, что вь одяо1 плоскости расположены дна пучка Съ цептранн въ то чхать 0 В О . K.iz-.ый лучъ а, о, е.. перввго пучин првведенъ кь пересъчен[я> с* сопнетствтющнм* лучемъ a' &, С... второго пучка; получнмъ точкк А, В, С...... Каково 6> деть ГСОнатрвчсское место згн*ъ точекъ? Если оучкж пе только проектвнпы, во в перспективны, те вти точки, мн внаем*, лежать на прямой JHMIH; но каково геометр вчесное место втихъ точекъ, если пашн пучкн связаны проектнвно, но не перспектив и о? ГЛтеВнеръ перны! показалъ нъ совершенно общем* виде, что вто есть коническое съчев1е • гинъ положилъ начало проективному обоснован'ю учеши о крнвынъ 2-ГО порядна. Ми такннъ образен* свопа приходив* къ гинь жо замъчате.тьнынъ кривым*; конечно, новый методъ не моидетъ дать нниакндъ нстрнческихь сиоЙствъ ноннчвскнхъ ciчешй; но зато иск проективным вхъ свойства раскрываютсв съ необыкновенной простотой к налщестноиъРазгнотрниъ, ваарвнеръ, первые шагв иъ этой теорЕв. 1 t встречает* ионнчесиое с е ч е т е только въ одной точке; иначе говоря, через* каждую точиу ноняческаго сечея1я проходить одна в только одна карательная къ нему; нсякая же другая прлмал, проходящая черезъ точку конвческаго сечешл, ветре чае гь его еще зь одной, но только иъ одной точке. Мы не имеемь возможности, конечно, развивать здесь всю проективную теор!ю конкческнхъ сеченЕй. Ограничиваясь только выяснен1емъ основной вдев, приведен* еще одно нэъ за не чате ль ней шихъ предложен [В, сюда относящихся,—теорему Паскалв; Во всякомъ шествугольвнке, вписанвомь аъ когнчесиое сечев1е, точкк пересвчепЕя протавоно лож ныхъ сторонъ лежать на одной пряхой. Однако, ва учен!и о полюсах* и полярах* вь проективном* изложении мы нескохько остановимся. Пусть О будетъ произвольная точка нъ пдоскостн коническаго сечсн[я, ВО ему не принадлежащая. Лроведемъ черезъ Вт у точку произвольную прямую, встречающую ионическое сечение иъ точкахъ К a L. Пусть М будетъ точка, кого рая вместе съ 0 делить гар ноя я чесни отрезе къ KL. Если прямая вращается вокруг* точки О, то вие« сгЬ сь этннъ перемещается точка М и онвсываетъ, какъ оказывается, прямую лвн!ю. Эта прямая н называется полярой точкв 0 относительно иоянческаго сеченЕя. Если точка 0 лежнть вне коняческаго сечен!х, то точла ; i f лежит* между К н L. Г.сл повтому гЬнущад вра• щаетси таквмъ обраломь, что точка К a L сближаются между собой, то къ ннмъ приближается н расположенная нежду ними точна Jf. Когда обе точки сливаются нъ одну, то съ нами сливаетси и точна Jf, аныни словами, иогда секущая обращается въ касательную, то поляра проходить черезъ точку K&canla, Это возвращаете нась къ прежней у опредеденЕю поляры Съ ученЕенъ о полюсах* и полпрахъ вял о дятел въ тесной связи очень важная нъ проехтмниои геонетр!и идея—начало двойственности; ово заключается въ сл±дующем*, Проеитквнал геометрЕл разматывается изъ вавестныдъ положен^, на с агащн л с я расположен^ и и ни иде втн ости основпыкъ сбразовъ. Возьмем* Следующ!я дна иаъ втнхъ поломвн1й: каждый две точки ооредвллють проходящую черезъ ННЕЪ прямую, каждый две прямыя определяютъ точку, черезъ которую ове обе проходить (какъ мы сказали выше, последнее положение не имеетъ воидючентй в* лроентнвноЙ геонотрТн), Мы формулируем* теперь етн предложения немножко иначе, пользуясь термпнолоПеН, которую мы уже указали нъ отделе I (рубрика 3). Точка и прямая называются п н д н д е н т н ы ы п , если прямая проходить черезъ точку ихи точка лежать на прямой. При тякнхъ услов1яхъ предыдущая два положенья ножно формулировать такъ: ж а а. д ы л д в е т о ч к и о п р е д е л я ю т ъ я яд н д е и т и у ю с ь ивмн прямую; к а ж д ы й д н е п р я м м л о п р е д е л я ю т * и н ц и д е н т н у ю с ъ лин я т о ч к у . Эти два полояенЕд таковы, что одно переходить вь другое, если мы ваненинъ другъ другом* термины „прлиая" и „точка*. Замечательно, что такопы все иоложен1я, из* которых* разматывается проективная геоиегрЕя; они переходить одно въ другое, если заменить втн термины „точка* в „пряная" другъ другонь, ВсдЪдствЕе итого каждая теорема лроектянвой геометр!в переходить нъ новую теорему, если термины .точка- в .прямая" заменить друга другом*. Именно, Фиг. «9. Занвтниъ, что вер шипы двухъ пучков* О и О еанв * Принадлежать па те.ту Ге о метрическому мисту, потому что лучъ 00* (перяаго пучка) пересекается съ соответствующим* ему лучемъ въ точка О*, а лучъ О'О (второго пучка) оереськается сь соотнетствующпиъ ему лучемъ перваго оучка вь точки 0. Положимъ тенерь, что иамь дано пить точекь О, О', А, 3, С, нзъ которыхъ пикдкЬя э не лежать на одной прямой. Два изъ итилъ точекъ примем* за вершины пучконъ и отнесемъ яучамъ OA, OB, 00 перваго пучка, лучн О'А, О'В, 0 С—нторого. Этимъ проективное соот* B-BTCTBLO двухъ пучковъ установлено; с л -ад о вате ль по, установлено н геометрическое ни ста точекъ пересечен!* со Ответственны хъ лучей. Таким ъ образомъ доказывается, чго коническое сичев(е иполнв определяется 5 своими точкамв. Каждый лучъ OA перваго пучка пересекается съ соответствующе иъ лучемъ второго иъ точке А, отдпчной отъ О; только лучъ OS, которому во втором? пучке соответствуеть лучъ О'О, пересекается съ доследнннъ только въ точке О. Следовательно, прпмын, проходят! я черезъ точку ковическаго ееченгя, пересекают* его каждая еще въ одлоя точке и только одна взь налъ J