* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

55 ОСЦОВНЫЯ ИДЕИ ГЕОМЕТРШ н вторылъ четырехь лучей равно ангармоническому отиощеи1ю четырехъ точекъ Р , М, У, L. Такого рода простейшее проеитниное соответстн!е двухъ пучковъ иавынаетсл п е р с п е к т и в н ы ж ь . Аналог1я сь перспентавой (Р"М''У"1/') = {PJtNL), , - (49j ибо каждое илъ ятнлъ двунъ ангармонических» огпо- диудь ря до въ точекъ совершенно иона: дна ряда точекъ наптепш равно {P'M'S'L}. Ряды I н Ш взвиваются ходятся въ перспеитвввонъ соотиетствЕи, если пряный, п р о е к т н в н ы к н , Вообще, е с д и д в а р а д а т а- соедеплющ1л соответственный точил, проходить черезь ч(1 к ъ с в я з а н ы г о о м е т р н ч е с п и н ъ с о о т- одну и ту же точку—пентръ перс п в ятв вы-Два пучл» нахо• е т с т п Е в ы ъ т е х я и ъ о б р а з о м », что а п г а р к с- дятся въ перспеитинномь ссотвегствти, если точки перен к ч е в к о е с о о т я о ш е н Е е ч е т ы р е х ъ т о ч е к ъ съчепая соответственных» лучей лежать на едней пряв с е г д а р д в п о а н г а р м о н и ч е с к о м у о т п о ш с¬ nod—на о с и п е р е п е к т и и ы. Но возможны, конечно, п i к ч е т ы р е к ъ д р у г н х ъ т о ч е к ъ , то в т н ря> •рсектанные, но не перспективные лучки. д ы н а в и в а ю т с я о р о о к г к в в ы ы в. Перспектниа Пучки лучен к прямолинейные ряди точекъ суть пропредставляет» частный случай проектиппаго соотвЬтств1п. сте|ш1е образы проектввной геонетрЕп; ихъ называют» Ряды I в Ш на фиг. 41-ой, какъ оыло выяснено, представляюгъ примъръ проективнаго, но не перспектив пап? проективными образами п о р н о З с т у п е н и . Мы устасоответствия; однако, оно осуществлено при в он о иди вовнхи noBHTie о проективном» соответсгвЕл между двумя двуть перспектннъ. Вогъ вта последняя сторона хила рядами точекъ и между двумя пучками; ножетъ быть представляетъ собой общее свойство проектиннаго соот еще речь о проективном» соответствии между пучкомъ в-атств1я двухъ рядозъ точекъ: оно всегда ножетъ быть н ридомъ точекъ; вто такое соответствие, прн которомъ установлено при помощи нескольких» иерсиоктяп» npi 4 .чучаиъ пучиа отнечаютъ 4 точки съ т*мъ же ангарионцческнмъ отношеньем ъ. Если при втомъ каждый раз лнч ныхъ централ». луч» пучка лрододить череиъ т-аждую точку ряха, то Совершенно тзкниъ же обрааомъ у с таи а вливается про- проективное соответствЕе обращается в» перспективективное cooTstTCTBie вежду двумя пучками лучей, Еаиг ное. Мы уже неодкоиратио осуществляли перспективное с о ото ътс тв Е о. между пучкомъ и ридомъ точект; такъ, на фвг. 41 пучекъ п/, р, т, п, перспективен» ряду точек» 1 Qr Р,.,. съ ридомъ же Q/'.P *,... он» находится н» проективпомъ, но не въ перспективном» соответСтвЕи. Къ числу образовъ первой ступеетн принадлежать ещн ! пучекъ плоскостей, проходящих» через» общую прямую; однако, чтобы-не усложнять изложения, мы ограничимся сначала проектииным» соотиетстзЕем» вь плоскости. точки перваго л третьяго ряда, не будут-ъ протомить черезъ общую точку. Между темъ, соотяоптенЕе, аналогичное соотношению (47), будетъ иметь место: Если а я гармони чес кое отношение 4-х» точекъ (РМУЬ} равпо—1, то говорят», что оне образуют» г а р м о н и ч е с к у ю г р у п п у кли что точил Р. М разделяются гармонически точками У, L. Для того, чтобы такое соотноленЕе имело место, два простых» отношения, из» которыхъ составляется сложное отяошенЕе (45), должны Фиг. 43. быть рапны по абсолютной величине н протниопо ложны вскользь уже было упомянуто! подъ пучком» луче» по знаку, т.-е. должно быть разумеют» совокупвость нряныхъ, рослоложвнныяъ иъ № **** одной плоско-тв н прогодивиглъ черезъ общую точку. Если ум-~Тм' W пимъ дано 2 пучаа, то мы можомъ установить между JTO означает», что одна на» течек» У. L делить раэними соотвътств1е такими образомъ, чтобы каждому луч 7 столнЕе между точками Р, М внутренне нъ том» же одного пучка отннчадъ определенный лучъ другого пучка, отношен^, иь каком» другая делить его внешне. нобратно. Е с л в п р н в т о м ъ о к а з ы в а е т с я , что Еслв поэтому одна изъ точек» У, 1> лежнть между авгармонпчеексе стношен!е ч е т ы р е х ! , точками Р, Jf, Т другая леянт» впе отрезка, Еедн О луче л в с е г д а равно а н г а р м о н и ч е с к о м ' точки Р, М, У даны, то построевЕс четвертой точки L отношению четырехъ с о о т в е т с т в у ю щ и х ? ] такъ, чтобы удовлетворить cooTaomenln (50)> не предл у ч е н д р у г о г о п у ч к а , т о т а к о в с о о т в е т - стнпллет» затруднен^. Пан};саиь же соотиошенЕе {ЬО) ствий н а з ы в а е т с я я р о о н т и н д ы м » . Лропи' вт, вид Г.: всего проевтнвнов соответствие между двумя пучками устававлагаетсл следующяыъ образомъ. РазсЪчсиъ перГ LP Lil' ' вый пучекъ 0 (фиг- 43) прямой, которая даст* нъ ct мы вндвнъ, что вся BIB разъ, киаъ точки N н L раздечел in съ яучами пучка Ob {I), ОМ (т), ON (п). 0Р(р] точки L, М. У, Р. Теперь каждому изъ етнтъ лучен отне ляют» гармонически пару точекъ Р, ^ , етя последпЕя, семь тотъ лучъ пучка С. который пересекаеть наш;, въ свою очередь, разделяют» гармонически точки У я L, Фонъ-Штаудту прнвадлежятъ заслуга сведенЕя иропрямую нъ той же точке. Это значить: лучу ОМ (т) сктнвнато соотиетстнан нсключдтедьно къ свойствам» итпесемъ лучъ 0'М(тл'), лучу ОУ (») отнесемъ дуч-„ О'У (п ) н т. д. Теперь ясно, что любынъ четыренъ гармаяическаго распкЛОжаиЫ то?екъ: висппо, Онъ дочалучам» р, т , я, t перваго пучиа отвечали-ь четыре лучл эалъ следующее нредложепЕе; е с л и д н а н е п р е р ь т в р* irV, W, V, ннеющге то же ангарионнчесное отпопге- п ы х ъ ряда точекъ отпесены д р у г » к* НЕв, ибо ангарное я ческое отпошен!е какъ периыиъ, такъ д р у г у т а к » , ч т о л ю б ы м ъ ч е т ы р е м » г а р м о ническим» точкам» одного ряда всегда L F 1 h