* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

79 Высшая натепатнка 80 около точки Ж, приближается къ по­ (х). ложению касательной ИТ къ кривой одно на д р у г о е , находим*: ах в ъ т о ч к е J f . Въ п р е д е л е , когда Д х Следовательно, производная равна от­ обратится въ нуль, секущая сольется ношение диффвренпдаловъ. Въ анализе съ касательной, а отношение — - с д ъ - ее обыкновенно представляют* именно ? х въ в и д е Последнее равенство можах лается равнымъ tg угла л наклонешя касательной МТ къ оси х. Итакъ, если но написать такъ; dy = f(x) dx. Оно даетъ в ы р а ж е т е дифференциала dy дан­ кривая, выражаемая у р а в н е т е м ъ у - f{x) ной функции f(x) ч е р е з * производную имеет* касательную, то отноше­ f (х) о т * э т о й функщи и дифференние и м е е т * вполне определенный шалъ dx неэависимаго переменнаго. Бслн пользуясь произволом* величи­ п р е д е л * при Д х - 0: этотъ п р е д е л * ны dx, положить ее равною приращеравенъ tg щ онъ есть некоторая функ- нпо Д х, т о dy б у д е т * равно f (х) а х, идя аргумента x такъ какъ а меняется т. е. равно MP. tg т; изъ прямоугольсъ изменешемъ х по определенному за­ наго треугольника ТЖР с л е д у е т * , что иными словами, диф­ кону, устанавливаемому видомъ кривой. т о г д а dy=TP\ Эта функпдя получила наэваще произ­ ференциал* dy равенъ приращешю TP водной функщи f (х) и обозначается сим- ординаты т о ч к и касательной; онъ раз­ воломъ f (х). Такъ какъ огромное боль- нится отъ приращения М'Р ординаты пшнство кривыхъ и м е е т ь касательную, точки кривой, на величину ТЖ. Этотъ то и большинство функции и м е е т * про­ геометрический с м ы с л * диффереитддала изводную, Дифференпдальное исчисле- можетъ быть принять за его о п р е д е ­ Hie даетъ обпце npieMbi для нахожде­ лен! е. Такъ какъ производная f(x) есть ния тхроиаводныхъ. Они основаны на сравнительно небольшом* ч и с л е фор- тоже функция о т ъ х, то отъ нея можно мулъ и теоремъ и всегда приводять по т е м * же правилам* образовать но­ къ д е л и , если производная существует*. вую производную, называемую второю Производный элементарных* функпдй производной) отъ данной функпдй f (х) оказываются функщями тоже элемен­ и обозначаемую символом* f*'(x\ Отъ тарными. Примеры; производная отъ f (х) можно опять образовать произ­ х есть их*— при всякомъ постоян­ водную—третью производную данной н о м * значении п; поэтому производная функции,обозначаемую с и м в о л о м * f " ( x ) отъ самого аргумента х есть 1 ; про- и т. д . Функщи f* (х), f" (х),.„ назы­ иаводная отъ sinx есть cosx; производ­ ваются производными высших* по­ ная отъ cosx есть — sinx, и т. д. рядков*. Въ анализе во многихъ отношенйяхъ Правила диффер&нцгаяьнаго исчи­ оказывается более удобнымъ вводить сления, позволяя находит* производ­ в ъ вычисления не самую величину ный отъ всевозможных* функшй, т е м * производной, а только величину ей самым* д а ю т * решение для упомяну­ пропорциональную h.f {х}, г д е h е с т ь той выше основной геометрической за­ множитель пропорпдональности при дачи о проведении касательной къ кри­ f (х); величина его совершенно про­ вой линии. Съ этою задачей въ т е с н о й извольна, но не должна, однако, за­ связи находится ц е л ы й рядъвопросовъ, в и с е т ь отъ х. В ы р а ж е т е h.f(x) на­ касающихся свойствъ линий и функций. зывается дифференпдаломъ отъ {(х) Такъ, довольно простыл разеуждентя или, ч т о то же, дифференциалом* отъ показывают*, что знак* первой произ­ у; оно обозначается символом* dy, такъ водной f (х) характеризует* возрастач т о dy = df[x) = h.f(x). Выше мы ви­ Hie и убывание функщи: функция f (х) д е л и , ч т о производная о т ъ х р а в н а 1;по­ в о з р а с т а е т * в м е с т е съ величиной аргу­ э т о м у дифференшалъ независима™ пе- мента х таыъ, гиге производная f (х) ремепнаго х выражается такъ: dx=h. 1; положительна; она убывает* с ъ возра­ онъ равенъ произвольной величине станием* величитны аргумента х там*, h. Р а з д е л и в * носледп1я два равенства г д е производная f (х) отрицательна. г f п 1 t