Семантические таблицы
– созданная Э.Бэтом формальная разрешающая процедура для формул "логики высказываний" и "логики предикатов".
Семантическая таблица состоит из двух (сопряженных) столбцов; в левом столбце пишутся формулы, соответствующие высказываниям, принимаемым за истинные, а в правом – принимаемым за ложные. Рассуждение осуществляется «от противного» (см. "Доказательство косвенное"). Если необходимо выяснить, следует ли формула В из формул А1, ..., Аn, то в левом столбце таблицы пишут формулы А1, ..., Аn, а в правом – формулу В. Если устанавливается общезначимость формулы D, то в правом столбце таблицы пишут эту формулу. Если хотят установить, является ли формула противоречивой, то эту формулу пишут в левом столбце таблицы.
Правила редукции, позволяющие переходить от формул, содержащих n логических терминов, к формулам, содержащим меньше чем n логических терминов, являются правилами построения таблицы. Для формул языка "логики предикатов", содержащих знаки отрицания, конъюнкции, нестрогой дизъюнкции, материальной импликации, кванторы общности и существования, используются следующие правила редукции.
Л. Если формула A имеется в левом столбце таблицы (подтаблицы), то в правом столбце той же таблицы (подтаблицы) пишем А
Пр. Если формула A имеется в правом столбце, то в левом столбце пишем А
∧Л. Если формула А∧В имеется в левом столбце таблицы (подтаблицы), то в том же столбце пишем формулы А и В.
∧Пр. Если формула А∧В находится в правом столбце таблицы (подтаблицы), то в каждом из столбцов образуем две новые альтернативные подтаблицы этого столбца и в левой подтаблице правого столбца пишем А, а в правой таблице того же столбца – В.
∨JI. Если формула A∨B находится в левом столбце таблицы (подтаблицы), то в каждом из столбцов образуем две новые альтернативные подтаблицы и в левой из них (левого столбца) пишем А, а в правой (того же столбца) – В.
∨Πр. Если формула А∨В находится в правом столбце таблицы (подтаблицы), то в том же столбце пишем формулы А и В.
⊃Л. Если формула А⊃В находится в левом столбце таблицы (подтаблицы), то в каждом из столбцов образуем две новые альтернативные подтаблицы и в правой подтаблице левого столбца пишем формулу В, а в левой подтаблице правого столбца пишем А.
⊃Пр. Если формула Α⊃Β находится в правом столбце таблицы (подтаблицы), то в левом столбце той же таблицы пишем формулу A, а в правом – В.
∀Л. Если формула ∀αA(α) находится в левом столбце таблицы (подтаблицы), то в том же столбце помещаем формулу Α(β), где β – произвольная индивидная переменная или константа, Α(β) есть результат правильной подстановки β вместо α в А(α). Эвристический совет: в качестве β нужно взять индивидную константу, которая уже встречается в подтаблице, или переменную, которая имеет свободные вхождения в какую-то из формул подтаблицы; если таковых нет, то вводится произвольная индивидная константа.
∀Пр. Если формула ∀αA(α) находится в правом столбце таблицы (подтаблицы), то в тот же столбец помещаем формулу А(β), где β – новая индивидная константа, т.е. константа, не встречающаяся еще ни в левом, ни в правом столбцах, а А(β) есть результат правильной подстановки β в А(α) вместо α.
∃Л. Если формула ∃αА(α) находится в левом столбце таблицы (подтаблицы), то в тот же столбец помещаем формулу А(β), где β – новая индивидная константа; А(β) – результат правильной подстановки индивидной константы β в А(α) вместо α.
∃Пр. Если формула ∃α A(α) находится в правом столбце таблицы (подтаблицы), то в тот же столбец помещаем формулу А(β), где β – произвольная индивидная переменная или константа, а А(β) – то же, что и в пояснении к правилу ∀Л. Эвристический совет тот же, что описан при формулировке правила ∀Л.
Альтернативная подтаблица (а если таковых нет, то таблица) является замкнутой, если некоторая формула входит в ее левый и правый столбцы. Таблица является замкнутой, если замкнуты все ее альтернативные подтаблицы.
Метод исследования рассуждений посредством логики предикатов, заданной семантическими таблицами, заключается в следующем. На первом шаге переводим на язык логики предикатов посылки и заключение рассуждения. Напр., рассуждение «Всякий, кто находится в здравом уме, может понимать логику. Ни один из сыновей Крокса не может понимать логику. Сумасшедшие не допускаются к голосованию. Следовательно, никто из сыновей Крокса не допускается к голосованию» на язык логики предикатов переводится так: первой, второй и третьей посылками являются соответственно формулы: ∀х(Р(х) ⊃ Q(x)), ∀x(R(x, a) ⊃ Q(x)), ∀x( P(x)⊃ S(x)), а заключением – формула ∀х(R(х, a) ⊃ S(x)). Второй шаг состоит в построении семантической таблицы, в левый столбец которой пишем формулы, соответствующие посылкам, а в правый – формулу, соответствующую заключению. Далее применяются правила редукции.
∀х(Р(х) ⊃ Q(x))
∀x(R(x, a) ⊃ S(x))
∀x(R(x, a) ⊃ Q(x))
1. R(b, a)⊃ S(b)
∀x( P(x)⊃ S(x))
5. S(b)
2. R(b, a)⊃ Q(b)
(1)
(2)
3. P(b)⊃ S(b)
7. R(b, a)
8. Q(b)
4. P(b)⊃Q(b)
(3)
(4)
5. R(b, a)
9. P(b)
11. S(b)
6. S(b)
(5)
(6)
(1)
(2)
12. P(b)
7. Q(b)
(3)
(4)
10. P(b)
9. S(b)
(5)
(6)
12.
Q(b)
Из рассмотренной таблицы видно, что все ее подтаблицы замкнуты, следовательно, и сама семантическая таблица замкнута. Можно сделать вывод, что анализируемое рассуждение является правильным. В силу неразрешимости логики предикатов возможны три результата: таблица оказывается замкнутой (в этом случае исследуемое рассуждение является правильным, а если анализировалось отдельное высказывание – это высказывание является логически истинным); все возможные правила применены, а таблица не замкнулась (рассуждение является неправильным, а если анализировалось отдельное высказывание – это высказывание не является логически истинным); процесс построения таблицы оказывается бесконечным (в этом случае задача не решена).
Описанная техника, с определенными модификациями, применяется для других логических систем, напр. для систем "модальной логики".
Литература:
Бет Э. Метод семантических таблиц. – В кн.: Математическая теория логического вывода. М., 1967;
Крипке С. Семантический анализ модальной логики I. Нормальные модальные исчисления высказываний. – В кн.: Фейс Р. Модальная логика. М., 1974;
Ивлев Ю.В. Логика. М.. 1996.
Ю.В.Ивлев
Семантическая таблица состоит из двух (сопряженных) столбцов; в левом столбце пишутся формулы, соответствующие высказываниям, принимаемым за истинные, а в правом – принимаемым за ложные. Рассуждение осуществляется «от противного» (см. "Доказательство косвенное"). Если необходимо выяснить, следует ли формула В из формул А1, ..., Аn, то в левом столбце таблицы пишут формулы А1, ..., Аn, а в правом – формулу В. Если устанавливается общезначимость формулы D, то в правом столбце таблицы пишут эту формулу. Если хотят установить, является ли формула противоречивой, то эту формулу пишут в левом столбце таблицы.
Правила редукции, позволяющие переходить от формул, содержащих n логических терминов, к формулам, содержащим меньше чем n логических терминов, являются правилами построения таблицы. Для формул языка "логики предикатов", содержащих знаки отрицания, конъюнкции, нестрогой дизъюнкции, материальной импликации, кванторы общности и существования, используются следующие правила редукции.
Л. Если формула A имеется в левом столбце таблицы (подтаблицы), то в правом столбце той же таблицы (подтаблицы) пишем А
Пр. Если формула A имеется в правом столбце, то в левом столбце пишем А
∧Л. Если формула А∧В имеется в левом столбце таблицы (подтаблицы), то в том же столбце пишем формулы А и В.
∧Пр. Если формула А∧В находится в правом столбце таблицы (подтаблицы), то в каждом из столбцов образуем две новые альтернативные подтаблицы этого столбца и в левой подтаблице правого столбца пишем А, а в правой таблице того же столбца – В.
∨JI. Если формула A∨B находится в левом столбце таблицы (подтаблицы), то в каждом из столбцов образуем две новые альтернативные подтаблицы и в левой из них (левого столбца) пишем А, а в правой (того же столбца) – В.
∨Πр. Если формула А∨В находится в правом столбце таблицы (подтаблицы), то в том же столбце пишем формулы А и В.
⊃Л. Если формула А⊃В находится в левом столбце таблицы (подтаблицы), то в каждом из столбцов образуем две новые альтернативные подтаблицы и в правой подтаблице левого столбца пишем формулу В, а в левой подтаблице правого столбца пишем А.
⊃Пр. Если формула Α⊃Β находится в правом столбце таблицы (подтаблицы), то в левом столбце той же таблицы пишем формулу A, а в правом – В.
∀Л. Если формула ∀αA(α) находится в левом столбце таблицы (подтаблицы), то в том же столбце помещаем формулу Α(β), где β – произвольная индивидная переменная или константа, Α(β) есть результат правильной подстановки β вместо α в А(α). Эвристический совет: в качестве β нужно взять индивидную константу, которая уже встречается в подтаблице, или переменную, которая имеет свободные вхождения в какую-то из формул подтаблицы; если таковых нет, то вводится произвольная индивидная константа.
∀Пр. Если формула ∀αA(α) находится в правом столбце таблицы (подтаблицы), то в тот же столбец помещаем формулу А(β), где β – новая индивидная константа, т.е. константа, не встречающаяся еще ни в левом, ни в правом столбцах, а А(β) есть результат правильной подстановки β в А(α) вместо α.
∃Л. Если формула ∃αА(α) находится в левом столбце таблицы (подтаблицы), то в тот же столбец помещаем формулу А(β), где β – новая индивидная константа; А(β) – результат правильной подстановки индивидной константы β в А(α) вместо α.
∃Пр. Если формула ∃α A(α) находится в правом столбце таблицы (подтаблицы), то в тот же столбец помещаем формулу А(β), где β – произвольная индивидная переменная или константа, а А(β) – то же, что и в пояснении к правилу ∀Л. Эвристический совет тот же, что описан при формулировке правила ∀Л.
Альтернативная подтаблица (а если таковых нет, то таблица) является замкнутой, если некоторая формула входит в ее левый и правый столбцы. Таблица является замкнутой, если замкнуты все ее альтернативные подтаблицы.
Метод исследования рассуждений посредством логики предикатов, заданной семантическими таблицами, заключается в следующем. На первом шаге переводим на язык логики предикатов посылки и заключение рассуждения. Напр., рассуждение «Всякий, кто находится в здравом уме, может понимать логику. Ни один из сыновей Крокса не может понимать логику. Сумасшедшие не допускаются к голосованию. Следовательно, никто из сыновей Крокса не допускается к голосованию» на язык логики предикатов переводится так: первой, второй и третьей посылками являются соответственно формулы: ∀х(Р(х) ⊃ Q(x)), ∀x(R(x, a) ⊃ Q(x)), ∀x( P(x)⊃ S(x)), а заключением – формула ∀х(R(х, a) ⊃ S(x)). Второй шаг состоит в построении семантической таблицы, в левый столбец которой пишем формулы, соответствующие посылкам, а в правый – формулу, соответствующую заключению. Далее применяются правила редукции.
∀х(Р(х) ⊃ Q(x))
∀x(R(x, a) ⊃ S(x))
∀x(R(x, a) ⊃ Q(x))
1. R(b, a)⊃ S(b)
∀x( P(x)⊃ S(x))
5. S(b)
2. R(b, a)⊃ Q(b)
(1)
(2)
3. P(b)⊃ S(b)
7. R(b, a)
8. Q(b)
4. P(b)⊃Q(b)
(3)
(4)
5. R(b, a)
9. P(b)
11. S(b)
6. S(b)
(5)
(6)
(1)
(2)
12. P(b)
7. Q(b)
(3)
(4)
10. P(b)
9. S(b)
(5)
(6)
12.
Q(b)
Из рассмотренной таблицы видно, что все ее подтаблицы замкнуты, следовательно, и сама семантическая таблица замкнута. Можно сделать вывод, что анализируемое рассуждение является правильным. В силу неразрешимости логики предикатов возможны три результата: таблица оказывается замкнутой (в этом случае исследуемое рассуждение является правильным, а если анализировалось отдельное высказывание – это высказывание является логически истинным); все возможные правила применены, а таблица не замкнулась (рассуждение является неправильным, а если анализировалось отдельное высказывание – это высказывание не является логически истинным); процесс построения таблицы оказывается бесконечным (в этом случае задача не решена).
Описанная техника, с определенными модификациями, применяется для других логических систем, напр. для систем "модальной логики".
Литература:
Бет Э. Метод семантических таблиц. – В кн.: Математическая теория логического вывода. М., 1967;
Крипке С. Семантический анализ модальной логики I. Нормальные модальные исчисления высказываний. – В кн.: Фейс Р. Модальная логика. М., 1974;
Ивлев Ю.В. Логика. М.. 1996.
Ю.В.Ивлев
Новая философская энциклопедия