ЛИ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА

- 1) Алгебра Ли алгебраич. подгруппы (см. "Алгебраическая группа").полной линейной группы, всех автоморфизмов конечномерного векторного пространства Vнад полем k. Если - произвольная подалгебра в алгебре Ли всех эндоморфизмов V, то существует наименьшая Ли а. а., содержащая она наз. алгебраической оболочкой подалгебры Ли Для алгебраичности алгебры Лн над произвольным алгебраически замкнутым полем kнеобходимо, чтобы вместе с каждым линейным оператором в лежали его полупростая и нильпотентная компоненты sи п(см. Жордана разложение). Это условие определяет т. н. почти алгебраические алгебры Ли. Оно не является достаточным для того, чтобы была Ли а. а. В случае поля kхарактеристики 0 необходимое и достаточное условие алгебраичности алгебры Ли состоит в том, что вместе с га и в лежат все операторы вида где - произвольное -линейное отображение из kв k. Исследовано [3] строение Ли а. а. в случае поля характеристики р> 0.

2) Алгебра Ли Lнад коммутативным кольцом k, в к-рой для любого элемента -эндоморфизм заданный на L, является корнем нек-рого многочлена со старшим коэффициентом 1 и остальными коэффициентами из k. Конечномерная над полем kалгебра Ли является Ли а. а. Обратное неверно: над любым полем kсуществуют бесконечномерные Ли а. а. с конечным числом порождающих [4]. Ряд вопросов о Ли а. а. получает решение уже в классе Ли нильалгебр.

Лит.:[1] Б о р е л ь А., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1972; [2] Ш е в а л л е К., Теория групп Ли, пер. с франц., т. 2, М., 1958; [3] S е 1 i g m a n G., Modular Lie algebras, В.- Hdlb.- N. Y., 1967; [4] Голод Е. С., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1964, т. 28, № 2, с. 273-76.

Ю. А. Бахтурин.