КРИТИЧЕСКИЙ ИДЕАЛ

- простой идеал дедекиндова кольца А, делящий дискриминант конечного сенарабельного расширения K/k, где k - поле частных кольца А. К. и. и только такие идеалы разветвлены в расширении K/k. Простой идеал р кольца А наз. разветвленным в K/k, если в целом замыкании Вкольца Ав поле Кимеет место равенство где - некоторые простые идеалы кольца Ви хотя бы одно из чисел l_i; больше 1. Число l_i наз. индексом ветвления идеала

Если Klk - расширение Галуа с группой Галуа G(K/k], то и индекс l_i совпадает с порядком подгруппы инерции группы G(K/k).

Другой, более тонкой характеристикой ветвления является подгруппа высшего ветвления определяемая следующим образом:

Пусть согласно теореме Минковского в любом конечном расширении поля рациональных чисел существуют К. и. Для произвольных полей алгебраич. чисел это не так: если поле kне одноклассно, т. е. имеет нетривиальную группу классов идеалов, то над kсуществуют неразвотвленные расширения, т. е. расширения, не имеющие критич. идеалов. Пример такого расширения - гильбертово поле классов поля k: так, поле совпадает с гильбертовым полем классов поля и не разветвлено над полем

Лит.:[1] Б о р е в и ч 3. И., Ш а ф а р е в и ч И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972; [2] Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1969; [3] Ленг С., Алгебраические числа, пер. с англ., М., 1966. Л.