ИТО ПРОЦЕСС

- случайный процесс, имеющий "стохастический дифференциал". Точнее, непрерывный случайный процесс X_t, заданный на вероятностном пространстве (W, F, Р) с нек-рым неубывающим семейством {F_t}s-подалгебр событий W, наз. процессом И т о по отношению к {F_t}, если существуют процессы a(t)и s(t) (называемые коэффициентом

сноса и коэффициентом диффузии соответственно), измеримые при каждом tотносительно F_t, и винеровский процесс W_t относительно {F_t} такие, что

И. п. назван по имени К. Ито (К. Ito). Один и тот же процесс X_t может быть И. п. по отношению к двум различным семействам {F_t}. При этом соответствующие стохастич. дифференциалы могут существенно отличаться. И. п. наз. процессом диффузионного типа, если его коэффициенты сноса a(t)и диффузии s(t)измеримы при каждом tотносительно s-алгебры

При. некоторых достаточно общих условиях оказывается возможным представление И. п. в виде процесса диффузионного типа, но, вообще говоря, с некоторым новым винеровским процессом (см. [3]). Если И. п. X_t представим в виде диффузионного И. п. с некоторым винеровским процессом и выполняется равенство то наз. обновляющим процессом для X_t.

Пример. Пусть задан некоторый винеровский процесс W_t,относительно {F_t} и

где Y- нормально распределенная случайная величина, имеющая среднее ти дисперсию g; Y измерима относительно F₀.

Процесс X_t, рассматриваемый относительно имеет стохастич. дифференциал

где новый винеровский процесс определяемый равенством

является обновляющим процессом для X_t.

Лит.:[1] Гирсанов И. В., "Теория вероят. и ее примен.", 1960, т. 5, в. 3, с. 314-30; [2] Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н., Статистика случайных процессов, М., 1974; [31 Ширяев А. Н., "Проблемы передачи информации", 1966, т. 11, в. 3, с. 3-22.

А. А. Новиков.