ИНТЕГРАЛ

Определенный интеграл. Понятие определенного И. вводится либо как предел интегральных сумм (см. Ноши интеграл, Римана интеграл, Лебега интеграл, Колмогорова интеграл, Стилтьеса интеграл), либо в случае, когда заданная функция f(x)определена на нек-ром отрезке [ а, b]и имеет на нем первообразную F, как разность ее значений на концах рассматриваемого отрезка F(b) - F(a). Определенный И. от функции f(x)на отрезке [ а, b] обозначают Определение И. как предела интегральных сумм в случае непрерывных функций было сформулировано О. Коши (А. Саuchy) в 1823. Случай произвольных функций был изучен Б. Риманом (В. Riemann, 1853). Существенное продвижение в теории определенного И. принадлежит Г. Дарбу (G. Darboux, 1879), к-рый ввел в рассмотрение наряду с интегральной суммой Римана верхнюю и нижнюю суммы (см. "Дарбу сумма"). Необходимое и достаточное условие интегрируемости по Риману разрывных функций в законченной форме установил (1902) А. Лебег (Н. Lebesgue).

Между определенным И. от непрерывной на отрезке [а, b]функции f(x)и неопределенным И. (или первообразной) этой функции существует следующая связь:

1) если F(x)- любая первообразная функции f(x), то справедлива формула Ньютона - Лейбница

2) для любого хиз отрезка [ а, b] неопределенный И. непрерывной функции f(х)записывается в виде

где С- произвольная постоянная. В частности, определенный И. с переменным верхним пределом

представляет собой первообразную функцию f(х). Для введения определенного И. от функции f(x)по отрезку [ а, b]в смысле Лебега разбивают множество значений уна частичные отрезки точками ...2<у _-10<у₁<у₂<... и обозначают через М _i множество всех значений хиз отрезка [ а, b], для к-рых y_i-1f(x)<y_i, а через m( М _i) - меру множества М _i в смысле Лебега. Интегральную сумму Лебега функции f(x)на отрезке [ а, b] определяют равенством

Функцию f(x)наз. интегрируемой в смысле Лебега на отрезке [а, b], если существует предел ее интегральных сумм (2) при стремлении к нулю максимальной из разностей у _i-y_i-1, т. е. если существует такое число I, что для любого e>0 найдется d>0 такое, что при единственном условии ( у _i -у _i-1).

Вместо отрезка [ а, b]можно рассматривать произвольное множество, измеримое относительно некоторой неотрицательной полной счетно аддитивной меры. Возможно и другое введение интеграла Лебега, когда этот И. первоначально определяют на множестве так наз. простых функций (т. е. измеримых функций, принимающих не более счетного множества значений), а затем с помощью операции предельного перехода вводят для произвольной функции, представляющей собой предел равномерно сходящейся последовательности простых функций (см. Лебега интеграл).

Каждая интегрируемая в смысле Римана функция является интегрируемой и в смысле Лебега. Обратное неверно, ибо существуют разрывные на множестве положительной меры и вместе с тем интегрируемые в смысле Лебега функции (напр., функция Дирихле).

Для интегрируемости по Лебегу ограниченной функции необходимо и достаточно, чтобы эта функция принадлежала классу измеримых функций. Функции, встречающиеся в математич. анализе, как правило, измеримы. Это означает, что интеграл Лебега обладает общностью, исчерпывающей потребности анализа.

Интеграл Лебега охватывает и все случаи абсолютно сходящихся несобственных интегралов.

Общность, достигнутая определением И. в смысле Лебега, весьма существенна во многих вопросах современного математич. анализа (теория обобщенных функций, определение обобщенных решений дифференциальных уравнений, изоморфизм гильбертовых пространств L₂ и l₂, эквивалентный так наз. теореме Рисса - Фишера в теории тригонометрических или произвольных ортогональных рядов,- все эти теории оказались возможными только при понимании И. в смысле Лебега).

Первообразную в смысле Лебега естественно определить с помощью равенства (1), в к-ром И. понимается в смысле Лебега. При таком понимании соотношение F'(x)=f(x)будет справедливо всюду, кроме, может быть, множества, имеющего меру, равную нулю.

Другие обобщения понятия интеграла. В 1894 Т. Стилтьесом (Т. Stieltjes) было дано другое важное для приложений обобщение интеграла Римана (получившее название интеграла Стилтьеса), в к-ром рассматривается интегрируемость одной функции f(x), определенной на некотором отрезке [a, b], относительно другой функции, определенной на том же отрезке. Интеграл Стилтьеса функции f(х)относительно функции U(х)обозначают символом

Если U(х)имеет ограниченную и интегрируемую в смысле Римана производную U'(х), то интеграл Стилтьеса сводится к интегралу Римана по формуле

в частности при и(х)=х+С интеграл Стилтьеса (3) является интегралом Римана

Однако для приложений интересен случай, когда интегрирующая функция U(x)не имеет производной. Примером может служить рассмотрение в качестве U(x)спектральной меры при изучении спектральных разложений.

Криволинейный интеграл

вдоль кривой Г, определяемой уравнениями x=j(t), y=y(t), представляет собой частный случай интегралa Стилтьеса, так как может быть записан в виде

Дальнейшим обобщением понятия И. послужило интегрирование по произвольному множеству в пространстве любого числа измерений. В самом общем случае удобно рассматривать И. как функцию от того множества М, по к-рому производится интегрирование (см. Функции множеств )вида

,

где U- также некоторая функция множества М(в частном случае его мера), а точка принадлежит множеству М, по к-рому идет интегрирование. Частными случаями такого рассмотрения являются кратные интегралы и поверхностные интегралы.

Другим обобщением понятия И. является понятие несобственного интеграла.

В 1912 А. Данжуа (A. Denjoy) ввел понятие И. (см. "Данжуа интеграл"), применимое ко всякой функции f(x), являющейся производной нек-рой функции F(x). Это позволило привести конструктивное определение И. к такой степени общности, при к-рой оно целиком отвечает задаче разыскания неопределенного И., понимаемого в смысле первообразной.

Лит.:[1] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, ч. 1-2, М., 1971-73; [2] Колмогоров А. Н., Фомин СВ., Элементы теории функций и функционального анализа, 4 изд., М., 1976; [3] Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1-2, 2 изд., М., 1973; [4] Никольский С. М., Курс математического анализа, т. 1-2, 2 изд., 1975; [5] Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 5, М., 1959; [6] Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, пер. с франц., М.-Л., 1934.

В. А. Илъин.

А-ИНТЕГРАЛ - одно из обобщений интеграла Лебега, данное Е. Титчмаршем [1] для интегрирования функций, сопряженных к суммируемым. Измеримую функцию f(x)наз. А - интегрируемой на [ а, b], если

и существует предел

где

Число I наз. A-интегралом и обозначают

Лит.:[1]Titсhmаrsh E. G., "Proa London Math. Soc", 1929, № 29, с 49-80; [2] Виноградова И. А., Скворцов В. А., в кн.: Итоги науки. Математический анализ. 1970, М., 1971 , с. 65 - 107.

И. А. Виноградова.