ДРОБНО-ЛИНЕЙНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
дробно-линейное преобразование,- отображение комплексного пространства С->С n, осуществляемое дробно-линейными функциями.
В случае комплексной плоскости С 1=С - это отличное от константы отображение вида
где ad-bс неравно 0;часто применяется унимодулярная нормировка ad-bс=1. Всякое Д.-л. о. доопределяется соответствиями 
и 
до взаимно однозначного отображения расширенной плоскости С на себя. Простейшими среди Д.-л. о. являются линейные: 
получающиеся при с=0. Всякое нелинейное Д.-л. о. представимо в виде суперпозиции двух линейных отображений и отображения L0:
Свойства Д.-л. о. L0 становятся наглядными на Римана сфере, так как при стереографич. проекции ему соответствует поворот сферы на 180 вокруг диаметра, проходящего через образы точек 
Основные свойства. Д.-л. о. отображает взаимно однозначно и конформно С на себя. Круговое свойство: при Д.-л. о. любая окружность на С (т. е. окружность на С или прямая, пополненная точкой бесконечности) переходит в окружность на С. Инвариантность отношения симметрии двух точек: пара точек z, z*, симметричных относительно какой-либо окружности на 
при Д.-л. о. переходит в пару точек w, w*, симметричных относительно образа этой окружности. Двойное отношение четырех точек на С инвариантно относительно Д.-л. о., т. е. если точки x1, x2, x3,x4 при Д.-л. о. переходят соответственно в z1,z2, z3, z4, то
Для любых заданных троек x1, x2,x3 и z1, z2, z3, попарно различных точек на С, существует и притом только одно Д.-л. о., переводящее соответственно 
k=1, 2, 3.
Это Д.-л. о. можно найти из уравнения (2), подставляя в него zи wсоответственно вместо x4 и z4. Групповое свойство: совокупность всех Д.-л. о. образует некоммутативную группу относительно суперпозиции (L1L2)(z) = L1(L2(z)) с единицей E(z) = z. Свойство универсальности: всякий конформный автоморфизм С есть Д.-л. о., и, таким образом, группа всех Д.-л. о. совпадает с группой Aut С всех конформных автоморфизмов С.
Все конформные автоморфизмы единичного круга 
. образуют подгруппу Aut Вгруппы Aut С, состоящую из Д.-л. о. вида:
Так же обстоит дело с конформными автоморфизмами верхней полуплоскости {zОC; Im z>0}, имеющими вид:
Все конформные гомеоморфизмы верхней полуплоскости на единичный круг имеют, вид:
Исключив тождественное Д.-л. о. E(z), можно сказать, что Д.-л. о. имеет не более двух различных неподвижных точек x1, x2 на С. В случае двух различных неподвижных точек 
семейство окружностей 2, проходящих через x1 и x2, переводится Д.-л. о. (1) само в себя. При этом семейство е' всех окружностей, ортогональных к окружностям е, также переходит само в себя. Здесь возможны в свою очередь три случая.
1) Каждая окружность е переходит сама в себя; такое Д.-л. о. наз. гиперболическим, и оно представимо в нормальной форме:
где множитель Д.-л. о. m>0,
Унимодулярное Д.-л. о. (1) является гиперболическим тогда и только тогда, когда 
и |a+d|>2.
2) Каждая окружность 2' переходит сама в себя; такое Д.-л. о. наз. эллиптическим ив нормальной форме (3) характеризуется множителем m таким, что |m| = 1, 
Унимодулярное Д.-л. о. (1) является эллиптическим тогда и только тогда, когда
|a+d|<2.
3) Ни одна из окружностей семейств 2 и 2' не переходит сама в себя; такое Д.-л. о. называется локсодромическим и в нормальной форме (3) характеризуется множителем 
таким, что либо
либо m<0. Унимодулярное Д.-л. о. (1) является 
локсодромическим тогда и только тогда, когда
Если же две неподвижные точки сливаются в одну x1, то Д.-л. о. наз. параболическим. Семейство 2 состоит при этом из всех окружностей, имеющих в x1 общую касательную; каждая окружность 2 переходит сама в себя. Нормальная форма параболичД.-л. о. имеет вид либо
при 
либо
при 
Унимодулярное Д.-л. о. (1) является параболическим тогда и только тогда, когда a+d=
Благодаря перечисленным богатым элементарным свойствам, Д.-л. о. находят самое широкое применение во всех разделах теории функций комплексного переменного и в различных прикладных дисциплинах. В частности, Д.-л. о. позволяют построить модель Лобачевского геометрии.
Среди подгрупп общей группы всех Д.-л. о. наиболее важны, с точки зрения их применений для аналитич. теории дифференциальных уравнений, теории автоморфных функций и других вопросов анализа, дискретные группы Г Д.-л. о. Элементарные дискретные группы Д.-л. о.- это конечные группы; они изоморфны либо циклическим группам вращений сферы Римана, либо группам вращений правильных многогранников. Дискретные группы Д.-л. о. Г, имеющие инвариантную окружность уна С, общую для всех преобразований Г, причем внутренность упри всех преобразованиях Г переходит сама в себя, наз. фуксовими группами. Локсодромич. Д.-л. о. не может быть фуксовым. Исторически первым примером фуксовой группы была "модулярная группа", возникшая в теории эллиптич. функций (см. также "Модулярная функция"). Модулярная группа состоит из всех унимодулярных Д.-л. о. (1), у к-рых коэффициенты а, b, с, d- целые действительные числа; действительная ось инвариантна относительно модулярных Д.-л. о. Более сложны и менее изучены неэлементарные группы Д.-л. о., не являющиеся фуксовыми,- клейновы группы.
Д.-л. о. комплексного пространства С n, n>1, наз. невырожденное отображение
осуществляемое дробно-линейными функциями
Наиболее важны те Д.-л. о. С n, к-рые продолжаются в какую-либо компактификацию С n. Так, в пространство теории функций 
продолжаются все линейные преобразования, переставляющие координаты, а также Д.-л. о. вида
где Lk(zk) - Д.- л. о. вида (1) на плоскости zk. Порождаемая перечисленными отображениями группа Д.-л. о. совпадает с группой Aut 
всех биголоморфных автоморфизмов компактификации 
Соответствующая подгруппа Aut Un с
исчерпывает все автоморфизмы единичного поликруга Un={
.|zj|<1, j=1, ..., п). В проективное замыкание СР n пространства С n продолжаются Д.-л. о., у к-рых
в однородных координатах это продолжение имеет вид
Этими отображениями исчерпывается группа AutCPn всех биголоморфных автоморфизмов СР". Автоморфизмы единичного шара В п={
; |z|
Е. П. Долженко, Е. Д. Соломенцев, Е. М. Чирка.
Математическая энциклопедия